Resolva as integrais a seguir, evidenciando a técnica de integração utilizada.
integral-3^-1(12-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral-3^-1(12-x) dx. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Olha só, temos 2 - x no denominador. Vamos chamar essa parte de u. Então:
u = 2 - x

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de u em relação a x, que é du/dx:
dudx = -1
Isso significa que:
du = -dx ou dx = -du

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original. Substituindo 2 - x por u e dx por -du, a integral fica:
integral 1u cdot (-du) = -integral 1u du

Passo 5

Integrando -1u em relação a u temos:
-ln|u| + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração depois.

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original x. Lembrando que u = 2 - x, substituímos de volta:
-ln|2 - x|

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração de -3 a -1:
[-ln|2 - x|]-3^-1
Calculando para x = -1:
-ln|2 - (-1)| = -ln|3|
E para x = -3:
-ln|2 - (-3)| = -ln|5|

Resposta

Subtraindo os valores:
-ln(3) - (-ln(5)) = ln(53)
Então, o valor da integral é ln(53).

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