Seja
um anel com unidade 1
. Defina em
as seguintes novas operações:
para a, b
(a) A nova operação de soma
possui elemento neutro? Justifique sua resposta.
(b) A propriedade associativa com respeito à nova multiplicação
vale? Justifique sua resposta.
(c) Escolha uma das duas propriedades distributivas e verifique que ela vale em
com estas novas operações.
(a) A nova operação de soma
(b) A propriedade associativa com respeito à nova multiplicação
(c) Escolha uma das duas propriedades distributivas e verifique que ela vale em
Passo 1
O enunciado nos dá um anel
com unidade
e define, para
, duas operações novas:
As perguntas são três:
- (a) A operação
possui elemento neutro? (ou seja, existe tal que e para todo ?) - (b) A operação
é associativa? (ou seja, vale para todos ?) - (c) Verificar uma das propriedades distributivas (escolher uma: esquerda ou direita) e mostrar que ela vale com essas novas operações.
Vou responder cada item passo a passo, explicando os conceitos necessários.
Passo 2
Entendendo o que é elemento neutro para
. Por definição, um elemento
é neutro à direita de
se
e é neutro à esquerda se
Queremos um elemento que seja neutro tanto à esquerda quanto à direita (elemento neutro bilateral). Vamos impor a condição e resolver para
.
Passo 3
Calcular
usando a definição:
Impor
para todo
dá a equação
Subtraindo
dos dois lados (isto é, somando o inverso aditivo de
), obtemos
onde
é o neutro aditivo do anel
. Assim
ou seja, o candidato a neutro de
é
(o inverso aditivo de
no anel).
Passo 4
Verificar também a condição à esquerda: calcular
com
:
Logo
funciona tanto à direita quanto à esquerda. Conclusão do item (a): existe elemento neutro para
e é
.
Passo 5
Agora vamos à associatividade da multiplicação
. A propriedade que queremos verificar é
para todo
. Vamos calcular os dois lados usando a definição
e as propriedades do anel original (associatividade de
, distributividade e existência dos neutros/inversos usuais).
Passo 6
Calcular o lado esquerdo
. Primeiro
. Então
Aplicando a definição de
com
e
:
Agora usar distributividade e associatividade da multiplicação usual em
para expandir:
Portanto
Passo 7
Calcular o lado direito
. Primeiro
. Então
Aplicando a definição de
com
e
:
Expandindo
por distributividade e associatividade:
Assim
Passo 8
Comparar os dois resultados. Reescrevendo ambos em ordem:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Os termos coincidem exatamente. Logo a operação
é associativa em
.
Passo 9
Agora escolho verificar a distributiva à esquerda (uma das duas pedidas). A propriedade a verificar é
para todo
. Vamos calcular os dois lados.
Passo 10
Calcular o lado esquerdo
. Primeiro
Então, pela definição de
,
Expandindo
por distributividade:
Substituindo:
Passo 11
Calcular o lado direito
. Temos
Pela definição de
,
Somando os termos:
Passo 12
Comparando os resultados dos passos 10 e 11, ambos são iguais:
Portanto a distributiva à esquerda vale para as operações definidas. (Analogamente, poderia verificar a distributiva à direita e obteria o mesmo tipo de igualdade — mas o enunciado pede apenas verificar uma delas.)
Resposta
(a)
(b) Sim;
é associativa em
.
(c) A distributiva à esquerda vale:
.