Seja (A, +, \cdot) um anel com unidade 1 \in A. Defina em A as seguintes novas operações:
a \oplus b=a+b+1 \quad \text { e } \quad a \odot b=a b+a+b
para a, b \in A
(a) A nova operação de soma \oplus possui elemento neutro? Justifique sua resposta.
(b) A propriedade associativa com respeito à nova multiplicação \odot vale? Justifique sua resposta.
(c) Escolha uma das duas propriedades distributivas e verifique que ela vale em A com estas novas operações.

Passo 1

O enunciado nos dá um anel (A,+,\cdot) com unidade 1\in A e define, para a,b\in A, duas operações novas:
a\oplus b = a + b + 1,\qquad a\odot b = ab + a + b.
As perguntas são três:
  • (a) A operação \oplus possui elemento neutro? (ou seja, existe e\in A tal que a\oplus e = a e e\oplus a = a para todo a\in A?)
  • (b) A operação \odot é associativa? (ou seja, vale (a\odot b)\odot c = a\odot(b\odot c) para todos a,b,c\in A?)
  • (c) Verificar uma das propriedades distributivas (escolher uma: esquerda ou direita) e mostrar que ela vale com essas novas operações.
Vou responder cada item passo a passo, explicando os conceitos necessários.

Passo 2

Entendendo o que é elemento neutro para \oplus. Por definição, um elemento e\in A é neutro à direita de \oplus se
a\oplus e = a\quad\text{para todo }a\in A,
e é neutro à esquerda se
e\oplus a = a\quad\text{para todo }a\in A.
Queremos um elemento que seja neutro tanto à esquerda quanto à direita (elemento neutro bilateral). Vamos impor a condição e resolver para e.

Passo 3

Calcular a\oplus e usando a definição:
a\oplus e = a + e + 1.
Impor a\oplus e = a para todo a dá a equação
a + e + 1 = a.
Subtraindo a dos dois lados (isto é, somando o inverso aditivo de a), obtemos
e + 1 = 0,
onde 0 é o neutro aditivo do anel A. Assim
e = -1,
ou seja, o candidato a neutro de \oplus é -1 (o inverso aditivo de 1 no anel).

Passo 4

Verificar também a condição à esquerda: calcular e\oplus a com e=-1:
e\oplus a = (-1)\oplus a = (-1) + a + 1 = a + ((-1)+1) = a + 0 = a.
Logo -1 funciona tanto à direita quanto à esquerda. Conclusão do item (a): existe elemento neutro para \oplus e é e=-1.

Passo 5

Agora vamos à associatividade da multiplicação \odot. A propriedade que queremos verificar é
(a\odot b)\odot c = a\odot (b\odot c)
para todo a,b,c\in A. Vamos calcular os dois lados usando a definição x\odot y = xy + x + y e as propriedades do anel original (associatividade de \cdot, distributividade e existência dos neutros/inversos usuais).

Passo 6

Calcular o lado esquerdo (a\odot b)\odot c. Primeiro a\odot b = ab + a + b. Então
(a\odot b)\odot c = (ab + a + b)\odot c.
Aplicando a definição de \odot com x = ab + a + b e y=c:
(a\odot b)\odot c = (ab + a + b)c + (ab + a + b) + c.
Agora usar distributividade e associatividade da multiplicação usual em A para expandir:
(ab + a + b)c = abc + ac + bc.
Portanto
(a\odot b)\odot c = abc + ac + bc + ab + a + b + c.

Passo 7

Calcular o lado direito a\odot(b\odot c). Primeiro b\odot c = bc + b + c. Então
a\odot (b\odot c) = a\odot (bc + b + c).
Aplicando a definição de \odot com x=a e y=bc+b+c:
a\odot (b\odot c) = a(bc + b + c) + a + (bc + b + c).
Expandindo a(bc + b + c) por distributividade e associatividade:
a(bc + b + c) = abc + ab + ac.
Assim
a\odot (b\odot c) = abc + ab + ac + a + bc + b + c.

Passo 8

Comparar os dois resultados. Reescrevendo ambos em ordem:
Lado esquerdo:
(a\odot b)\odot c = abc + ab + ac + bc + a + b + c.
Lado direito:
a\odot (b\odot c) = abc + ab + ac + bc + a + b + c.
Os termos coincidem exatamente. Logo a operação \odot é associativa em A.

Passo 9

Agora escolho verificar a distributiva à esquerda (uma das duas pedidas). A propriedade a verificar é
a\odot(b\oplus c) = a\odot b \oplus a\odot c
para todo a,b,c\in A. Vamos calcular os dois lados.

Passo 10

Calcular o lado esquerdo a\odot(b\oplus c). Primeiro
b\oplus c = b + c + 1.
Então, pela definição de \odot,
a\odot(b\oplus c) = a(b + c + 1) + a + (b + c + 1).
Expandindo a(b + c + 1) por distributividade:
a(b + c + 1) = ab + ac + a.
Substituindo:
a\odot(b\oplus c) = (ab + ac + a) + a + b + c + 1 = ab + ac + 2a + b + c + 1.

Passo 11

Calcular o lado direito a\odot b \oplus a\odot c. Temos
a\odot b = ab + a + b,\qquad a\odot c = ac + a + c.
Pela definição de \oplus,
a\odot b \oplus a\odot c = (ab + a + b) + (ac + a + c) + 1.
Somando os termos:
a\odot b \oplus a\odot c = ab + ac + 2a + b + c + 1.

Passo 12

Comparando os resultados dos passos 10 e 11, ambos são iguais:
a\odot(b\oplus c) = ab + ac + 2a + b + c + 1 = a\odot b \oplus a\odot c.
Portanto a distributiva à esquerda vale para as operações definidas. (Analogamente, poderia verificar a distributiva à direita e obteria o mesmo tipo de igualdade — mas o enunciado pede apenas verificar uma delas.)

Resposta

(a) -1
(b) Sim; \odot é associativa em A.
(c) A distributiva à esquerda vale: a\odot(b\oplus c)=a\odot b\oplus a\odot c.

Exercícios relacionados