2 (5 pontos). Use um polinômio de Taylor de ordem 20 para estimar o valor de
integral0^2 cos x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para estimar
integral0^2cos(x^2),dx
usando um polinômio de Taylor de ordem 20. O conteúdo aqui é aplicação de expansão de Taylor de cos t em torno de t=0, seguida de composição t=x^2 e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos lembrando que
cos t = sumn=0^infty (-1)^n,t^2n(2n)!
Fazendo t=x^2, obtemos
cos(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n,x^4n(2n)!
Para um polinômio de ordem 20 em x, mantemos os termos com 4n<=20, ou seja, n=0,1,2,3,4,5.

Passo 3

O polinômio de Taylor de ordem 20 para cos(x^2) é
P20(x) = sumn=0^5 (-1)^n,x^4n(2n)!

Passo 4

Integramos P20(x) de 0 a 2 termo a termo. Como
integral0^2 x^4n,dx = 2^4n+14n+1,
temos
integral0^2P20(x),dx = sumn=0^5(-1)^n,1(2n)!,2^4n+14n+1

Passo 5

Vamos calcular cada termo para n=0 até 5:
n=0:
(-1)^02^10!,(1) = 21=2
n=1:
(-1)^12^52!,(5) = -322cdot5 = -3,2
n=2:
(-1)^22^94!,(9) = 51224cdot9 approx 2,37037
n=3:
(-1)^32^136!,(13) = -8192720cdot13 approx -0,87531
n=4:
(-1)^42^178!,(17) = 13107240320cdot17 approx 0,19129
n=5:
(-1)^52^2110!,(21) = -20971523628800cdot21 approx -0,02751
Somando:
2 -3,2 +2,37037 -0,87531 +0,19129 -0,02751 approx 0,45884

Passo 6

Podemos estimar o termo de resto pela próxima parcela ( n=6), cujo módulo é
2^2512!,(25)approx 0,0028,
logo o erro é menor que 0,003.

Resposta

A estimativa usando o polinômio de ordem 20 é
integral0^2cos(x^2),dx approx 0,459

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