2 (5 pontos). Use um polinômio de Taylor de ordem 20 para estimar o valor de
Passo 1
O enunciado pede para estimar
usando um polinômio de Taylor de ordem 20. O conteúdo aqui é aplicação de expansão de Taylor de
em torno de
, seguida de composição
e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos lembrando que
Fazendo
, obtemos
Para um polinômio de ordem 20 em
, mantemos os termos com
, ou seja,
.
Passo 3
O polinômio de Taylor de ordem 20 para
é
Passo 4
Integramos
de 0 a 2 termo a termo. Como
temos
Passo 5
Vamos calcular cada termo para
até
:
n=0:
n=1:
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
Somando:
Passo 6
Podemos estimar o termo de resto pela próxima parcela (
), cujo módulo é
logo o erro é menor que
.
Resposta
A estimativa usando o polinômio de ordem 20 é