(3 pontos) No processo de purificação da água, podemos utilizar a chamada filtração por membrana. Em um experimento queremos determinar a relação entre a pressão na membrana e o fluxo, por área, através da membrana. A tabela a seguir mostra os valores medidos.
Pressão |r|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l| hline Pressão $(x)$ & 1.02 & 2.08 & 2.89 & 4.01 & 5.32 & 5.83 & 7.26 & 7.96 & 9.11 & 9.99 hline Fluxo $(y)$ & 1.15 & 0.85 & 1.56 & 1.72 & 4.32 & 5.07 & 5.00 & 5.31 & 6.17 & 7.04 hline 1.02 2.08 2.89 4.01 5.32 5.83 7.26 7.96 9.11 9.99
Fluxo Lambda 1.15 0.85 1.56 1.72 4.32 5.07 5.00 5.31 6.17 7.04
e) Estime a pressão para um fluxo médio de unidades

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre purificação da água usando filtração por membrana e nos dá uma tabela com valores de pressão ( x) e fluxo ( y). A gente precisa descobrir qual pressão corresponde a um fluxo médio de Lambda unidades. Para isso, vamos usar um pouco de matemática para encontrar a relação entre pressão e fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que geralmente há uma relação direta entre a pressão aplicada na membrana e o fluxo que passa por ela. Para encontrar essa relação, vamos supor que seja uma relação linear, ou seja, que o fluxo aumenta de forma proporcional à pressão. A fórmula dessa relação é:
y = a cdot x + b
Onde:
  • é o fluxo,
  • é a pressão,
  • e são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Para achar os valores de barx = 1.02 + 2.08 + 2.89 + 4.01 + 5.32 + 5.83 + 7.26 + 7.96 + 9.11 + 9.9910 e bary = 1.15 + 0.85 + 1.56 + 1.72 + 4.32 + 5.07 + 5.00 + 5.31 + 6.17 + 7.0410 , vamos usar os dados da tabela para fazer uma regressão linear. Isso significa que vamos calcular a melhor linha que se ajusta aos pontos dados. Aqui, vamos calcular a média de a = sum(xi - barx)(yi - bary)sum(xi - barx)^2 e b = bary - a cdot barx , depois usar essas médias para encontrar e .
Primeiro, calculamos a média de e :
Depois, calculamos a inclinação usando:
E o intercepto com:

Passo 4

Com os valores de x = y - ba e x = Lambda - ba encontrados, a equação da reta fica pronta. Agora, queremos achar a pressão para um fluxo . Então, rearranjamos a equação para resolver :
Substituindo por :

Passo 5

Prontinho! A pressão estimada para um fluxo médio de Lambda unidades é dada por:
x = Lambda - ba

Resposta

A pressão estimada para um fluxo médio de Lambda unidades é:
x = Lambda - ba

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