(3 pontos) No processo de purificação da água, podemos utilizar a chamada filtração por membrana. Em um experimento queremos determinar a relação entre a pressão na membrana e o fluxo, por área, através da membrana. A tabela a seguir mostra os valores medidos.
Pressão |r|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l| hline Pressão $(x)$ & 1.02 & 2.08 & 2.89 & 4.01 & 5.32 & 5.83 & 7.26 & 7.96 & 9.11 & 9.99 hline Fluxo $(y)$ & 1.15 & 0.85 & 1.56 & 1.72 & 4.32 & 5.07 & 5.00 & 5.31 & 6.17 & 7.04 hline 1.02 2.08 2.89 4.01 5.32 5.83 7.26 7.96 9.11 9.99
Fluxo 1.15 0.85 1.56 1.72 4.32 5.07 5.00 5.31 6.17 7.04
b) Assumindo que um modelo de regressão linear é adequado, determine os coeficientes da equação pelo método dos mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os coeficientes de uma regressão linear que relaciona a pressão na membrana (x) com o fluxo através dela (y). Isso significa que queremos achar uma reta que melhor se ajusta aos nossos dados. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que é uma técnica para minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela nossa reta.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar nossos dados:
|c|c| hline Pressão (x) & Fluxo (y) hline 1.02 & 1.15 2.08 & 0.85 2.89 & 1.56 4.01 & 1.72 5.32 & 4.32 5.83 & 5.07 7.26 & 5.00 7.96 & 5.31 9.11 & 6.17 9.99 & 7.04 hline ã

Passo 3

Vamos calcular alguns valores necessários:
  1. Soma de x ( 1.02 + 2.08 + 2.89 + 4.01 + 5.32 + 5.83 + 7.26 + 7.96 + 9.11 + 9.99 = 54.42 ):
1.15 + 0.85 + 1.56 + 1.72 + 4.32 + 5.07 + 5.00 + 5.31 + 6.17 + 7.04 = 37.19
  1. Soma de y ( (1.02 times 1.15) + (2.08 times 0.85) + cdots + (9.99 times 7.04) = 203.15 (aproximadamente) ):
1.02^2 + 2.08^2 + cdots + 9.99^2 = 394.09 (aproximadamente)
  1. Soma de x y ( ):
  1. Soma de x² ( ):

Passo 4

Agora, usamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes a = n sum xy - (sum x)(sum y)n sum x^2 - (sum x)^2 (coeficiente angular) e b = sum y - a sum xn (coeficiente linear) da equação da reta :
Onde é o número de pontos, que aqui é 10.

Passo 5

Vamos calcular a = 10 times 203.15 - 54.42 times 37.1910 times 394.09 - (54.42)^2 :
a = 2031.5 - 2020.353940.9 - 2952.3
a = 11.15988.6 approx 0.0113

Passo 6

Agora, calculamos b = 37.19 - 0.0113 times 54.4210 :
b = 37.19 - 0.61410
b = 36.57610 = 3.6576

Resposta

A equação da reta de regressão é:
y = 0.0113,x + 3.6576

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