( 3,0 pontos) Para produzir certo lote padronizado, um processo de produção leva em média 182,3 minutos com um desvio padrâo de 8,8 minutos. Sabe-se que o tempo de produção do processo é normalmente distribuido. Como este tempo era excessivo, o setor implementou um aperfeiçoamento do processo. Para verificar a eficácia das medidas adotadas, coletou-se uma amostra de 16 elementos para a qual observou-se um tempo médio 175,4 minutos. Acredita-se que o tempo de produção após o aperfeiçoamento do processo permanecerá normalmente distribuido com desvio padrão de 8,8 minutos.
a. (0,75 ponto) Considerando-se o objetivo do setor de produção estabeleça as hipóteses em termos dos parâmetros e em termos do problema.
b. ( 0,75 ponto) O que significa o erro tipo I em termos do problema? Qual a relação entre o erro do tipo I e o nível de significância?
c. ( 0,75 ponto) Conduza o teste de hipótese de interesse utilizando um nível de significância de 1 %, a partir da construção da regiāo crítica. Existem evidências que houve methoria no tempo médio de produção do processo? Apresente todos os passos necessários para a conduçāo do teste de hipótese.
d. (0,75 ponto) Calcule o valor-p do teste. Se o nível de significância fosse de 5% a conclusão seria a mesma?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e a teoria. O tempo de produção é normalmente distribuído com desvio padrão conhecido sigma=8,8 minutos. Antes da melhoria, a média era mu0=182,3 minutos. Após a melhoria, coletou-se n=16 observações e observou-se média amostral barx=175,4 minutos. Como sigma é conhecido e queremos testar mudança na média, usaremos o teste Z para média.

Passo 2

(a) Hipóteses
Em termos do parâmetro mu:
H0:mu=mu0=182,3
H1:mu<182,3
Em palavras: sob H0 o processo não melhorou (média permanece 182,3 min); sob H1 o processo melhorou (média é menor que 182,3 min).

Passo 3

(b) Erro tipo I e nível de significância
Erro tipo I é rejeitar H0 quando ela é verdadeira, ou seja, concluir que houve melhoria quando na verdade não houve. O nível de significância alpha é a probabilidade máxima de cometer esse erro tipo I.

Passo 4

(c) Teste de hipótese a alpha=1%
Definimos a estatística
z=barx-mu0sigma/raizn
e a região crítica para teste unilateral à esquerda é
z<= z,alpha=z0,01approx -2,33
Calculando
z=175,4-182,38,8/raiz16 =-6,98,8/4 =-6,92,2 approx -3,136
Como -3,136 < -2,33, rejeitamos H0. Há evidência, a 1%, de que o tempo médio diminuiu (houve melhoria).

Passo 5

(d) Valor-p e comparação com alpha=5%
O valor-p é
p-value=P(Z<= -3,136)approx 0,00085
Mesmo com alpha=5%, como 0,00085<0,05, rejeitaríamos H0. A conclusão permanece: há evidências de melhoria.

Resposta

(a)
H0:mu=182,3, H1:mu<182,3.
(b) Erro tipo I é concluir que o tempo médio diminuiu quando na verdade ele continua em 182,3 min. O nível alpha é a probabilidade de cometer esse erro.
(c) Estatística zapprox -3,136. Região crítica z<= -2,33. Como -3,136<-2,33, rejeitamos H0 a 1%. Há melhoria.
(d) p-valueapprox0,00085. A 5% também rejeita H0, mesmo resultado.

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