( 3,0 pontos) Para produzir certo lote padronizado, um processo de produção leva em média 182,3 minutos com um desvio padrâo de 8,8 minutos. Sabe-se que o tempo de produção do processo é normalmente distribuido. Como este tempo era excessivo, o setor implementou um aperfeiçoamento do processo. Para verificar a eficácia das medidas adotadas, coletou-se uma amostra de 16 elementos para a qual observou-se um tempo médio 175,4 minutos. Acredita-se que o tempo de produção após o aperfeiçoamento do processo permanecerá normalmente distribuido com desvio padrão de 8,8 minutos.
a. (0,75 ponto) Considerando-se o objetivo do setor de produção estabeleça as hipóteses em termos dos parâmetros e em termos do problema.
b. ( 0,75 ponto) O que significa o erro tipo I em termos do problema? Qual a relação entre o erro do tipo I e o nível de significância?
c. ( 0,75 ponto) Conduza o teste de hipótese de interesse utilizando um nível de significância de
, a partir da construção da regiāo crítica. Existem evidências que houve methoria no tempo médio de produção do processo? Apresente todos os passos necessários para a conduçāo do teste de hipótese.
d. (0,75 ponto) Calcule o valor-p do teste. Se o nível de significância fosse de 5% a conclusão seria a mesma?
a. (0,75 ponto) Considerando-se o objetivo do setor de produção estabeleça as hipóteses em termos dos parâmetros e em termos do problema.
b. ( 0,75 ponto) O que significa o erro tipo I em termos do problema? Qual a relação entre o erro do tipo I e o nível de significância?
c. ( 0,75 ponto) Conduza o teste de hipótese de interesse utilizando um nível de significância de
d. (0,75 ponto) Calcule o valor-p do teste. Se o nível de significância fosse de 5% a conclusão seria a mesma?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado e a teoria. O tempo de produção é normalmente distribuído com desvio padrão conhecido
minutos. Antes da melhoria, a média era
minutos. Após a melhoria, coletou-se
observações e observou-se média amostral
minutos. Como
é conhecido e queremos testar mudança na média, usaremos o teste
para média.
Passo 2
(a) Hipóteses
Em termos do parâmetro :
Em termos do parâmetro
Em palavras: sob
o processo não melhorou (média permanece 182,3 min); sob
o processo melhorou (média é menor que 182,3 min).
Passo 3
(b) Erro tipo I e nível de significância
Erro tipo I é rejeitar quando ela é verdadeira, ou seja, concluir que houve melhoria quando na verdade não houve. O nível de significância
é a probabilidade máxima de cometer esse erro tipo I.
Erro tipo I é rejeitar
Passo 4
(c) Teste de hipótese a
Definimos a estatística
Definimos a estatística
e a região crítica para teste unilateral à esquerda é
Calculando
Como
, rejeitamos
. Há evidência, a
, de que o tempo médio diminuiu (houve melhoria).
Passo 5
(d) Valor-p e comparação com
O valor-p é
O valor-p é
Mesmo com
, como
, rejeitaríamos
. A conclusão permanece: há evidências de melhoria.
Resposta
(a)
.
(b) Erro tipo I é concluir que o tempo médio diminuiu quando na verdade ele continua em 182,3 min. O nível é a probabilidade de cometer esse erro.
(c) Estatística . Região crítica
. Como
, rejeitamos
a 1%. Há melhoria.
(d) . A 5% também rejeita
, mesmo resultado.
(b) Erro tipo I é concluir que o tempo médio diminuiu quando na verdade ele continua em 182,3 min. O nível
(c) Estatística
(d)