( 2,5 pontos) Uma indústria de engenharia de materiais fabrica peças de aço cujas especificações dizem que elas que devem ter entre e . Usando um método A de fabricação, o diâmetro das peças produzidas tem distribuição normal com média 50,1 e desvio padrão 0,1 .
a. ( 0,75 ponto) Se selecionarmos ao acaso uma peça de aço produzida por essa indústria pelo método A, qual a probabilidade da peça atender as especificações?
Caso nāo tenha conseguido fazer o item a), atribua um valor qualquer para a resposta do item mencionado e faça os itens seguintes utilizando esse valor.
b. ( 0,75 ponto) Quando a peça atende as especificaçōes, ela é vendida por 80,00 ãé\mathrm{R} $30,00$ ? Qual o preço médio de venda dessa peça?
c. ( 1,00 ponto) A partir de amanhã, das peças de aço fabricadas nessa indústria serão produzidas usando método B e o restante continuará sendo produzida pelo método A. Sabe-se que usando o método B, das peças produzidas atende as especificações. Se amanhã ao final do dia selecionarmos aleatoriamente uma peça de aço produzida por essa indústria durante o próprio dia, qual a probabilidade da peça sorteada não atender as especificações?

Passo 1

O enunciado diz que a variá­vel aleatória X, diâmetro de peças fabricadas pelo método A, é normal com média mu=50,1 mm e desvio-padrão sigma=0,1 mm. As peças são aceitáveis se 49,8<= X<=50,3. Para resolver, vamos usar a padronização
Z=X-musigma
e tabelas (ou calculadora) da distribuição normal padrão.

Passo 2

Queremos
P(49,8<= X<=50,3)=Pl(49,8-50,10,1<= Z<=50,3-50,10,1r) =P(-3<= Z<=2)
Pela tabela, Phi(2)approx0,97725 e Phi(-3)approx0,00135. Logo
P(-3<= Z<=2)=Phi(2)-Phi(-3)approx0,97725-0,00135=0,97590

Passo 3

Se a peça atende, ela vale R$80; se não atende, R$ 30. Seja a probabilidade de atender. O preço médio é
ç
Substituindo :
ç

Passo 4

Amanhã 30% das peças virão do método B (com P(atende|B)=0,99) e 70% do A (com P(atende|A)=p). Queremos a probabilidade da peça NÃO atender:
P(não atende) =0,30cdot(1-0,99)+0,70cdot(1-p) ã
Como 1-p=1-0,97590=0,02410, temos
P(não atende)=0,30cdot0,01+0,70cdot0,02410=0,003+0,01687=0,01987 ã

Resposta

a. 0,97590 (97,590 %)
b. R$ 78,795
c. 0,01987 (1,987 %)

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