(1,75 pontos) O fabricante de um xampu sabe que os usuários desta marca gostam de que os produtos espumem bastante. Com o intuito de averiguar esta propriedade de um novo produto que será lançado no mercado foram selecionadas ao acaso 10 amostras de tubo deste novo produto e observadas as alturas (em milimetros) da espuma. De informações prévias ele sabe que a altura da espuma deste produto é normalmente distribuida com desvio padrào de 4 mm
a. ( 1,00 ponto) Se a altura média amostral para a amostra selecionada foi de 21 milimetros, construa um intervalo de confiança para a verdadeira altura média da espuma ( mu ) com 97 % de confiança e interprete o intervalo obtido em termos do problema.
b. ( 0,75 ponto) Se o objetivo é estimar mu utilizando um intervalo de confiança com margem de erro de 1 milimetro e coeficiente de confiança de 97 %, qual o tamanho amostral que será necessário?

Passo 1

O problema diz que a altura da espuma segue uma distribuição normal com desvio padrão conhecido sigma=4 mm. Selecionamos n=10 tubos e obtivemos média amostral bar x=21 mm. Na parte (a) queremos construir um intervalo de confiança de 97% para a média verdadeira mu. Na parte (b) queremos saber qual tamanho de amostra é necessário para que a margem de erro seja E=1 mm com o mesmo nível de confiança.

Passo 2

Como sigma é conhecido e a amostra vem de população normal, o intervalo de confiança para mu é dado por
bar x pm z1-alpha/2,sigmaraizn,
onde alpha=1-0,97=0,03 e z1-alpha/2 é o quantil padrão da normal.

Passo 3

Para 97% de confiança temos alpha/2=0,015, então
z1-alpha/2=z0,985approx2,1701

Passo 4

O erro padrão da média é
sigmaraizn=4raiz10approx1,2649
A margem de erro fica
E=z0,985times1,2649approx2,1701times1,2649approx2,745
Portanto o intervalo de confiança é
IC97%=[21-2,745,;21+2,745]=[18,255,;23,745]approx[18,26,;23,75]
em milímetros.

Passo 5

Isso significa que, se repetíssemos o experimento muitas vezes, em cerca de 97% dos casos o verdadeiro valor de mu estaria dentro de [18,26;23,75] mm.

Passo 6

Para determinar o tamanho de amostra necessário para margem de erro E=1 mm usamos
E = z1-alpha/2,sigmaraizn Longrightarrow n = l(z1-alpha/2,sigmaEr)^2

Passo 7

Substituindo z1-alpha/2=2,1701, sigma=4 e E=1:
n = l(2,1701times41r)^2approx75,35
Como n deve ser inteiro, arredondamos para cima e obtemos n=76.

Resposta

(a) IC97%=[18,26;mm,,23,75;mm].
(b) n=76.

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