(1,75 pontos) O fabricante de um xampu sabe que os usuários desta marca gostam de que os produtos espumem bastante. Com o intuito de averiguar esta propriedade de um novo produto que será lançado no mercado foram selecionadas ao acaso 10 amostras de tubo deste novo produto e observadas as alturas (em milimetros) da espuma. De informações prévias ele sabe que a altura da espuma deste produto é normalmente distribuida com desvio padrào de 4 mm
a. ( 1,00 ponto) Se a altura média amostral para a amostra selecionada foi de 21 milimetros, construa um intervalo de confiança para a verdadeira altura média da espuma (
) com
de confiança e interprete o intervalo obtido em termos do problema.
b. ( 0,75 ponto) Se o objetivo é estimar
utilizando um intervalo de confiança com margem de erro de 1 milimetro e coeficiente de confiança de
, qual o tamanho amostral que será necessário?
a. ( 1,00 ponto) Se a altura média amostral para a amostra selecionada foi de 21 milimetros, construa um intervalo de confiança para a verdadeira altura média da espuma (
b. ( 0,75 ponto) Se o objetivo é estimar
Passo 1
O problema diz que a altura da espuma segue uma distribuição normal com desvio padrão conhecido
mm. Selecionamos
tubos e obtivemos média amostral
mm. Na parte (a) queremos construir um intervalo de confiança de
para a média verdadeira
. Na parte (b) queremos saber qual tamanho de amostra é necessário para que a margem de erro seja
mm com o mesmo nível de confiança.
Passo 2
Como
é conhecido e a amostra vem de população normal, o intervalo de confiança para
é dado por
onde
e
é o quantil padrão da normal.
Passo 3
Para
de confiança temos
, então
Passo 4
O erro padrão da média é
A margem de erro fica
Portanto o intervalo de confiança é
em milímetros.
Passo 5
Isso significa que, se repetíssemos o experimento muitas vezes, em cerca de
dos casos o verdadeiro valor de
estaria dentro de
mm.
Passo 6
Para determinar o tamanho de amostra necessário para margem de erro
mm usamos
Passo 7
Substituindo
,
e
:
Como
deve ser inteiro, arredondamos para cima e obtemos
.
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)