Um elétron está confinado na região entre x=0 e x=L, onde pode mover-se livremente. Fora desta região o potencial é infinito.
(a) Mostre que a solução da parte espacial da equação de Schrödinger tem matematicamente a forma:
\psi(x)=A \operatorname{sen}(k x)+B \cos (k x) ;
(b) A partir das condições de contorno: \psi(x=0)=0 e \psi(x=L)=0, encontre a função de onda fisicamente possível;
(c) Determine a constante de normalização para este elétron em todo o espaço;
(d) Qual a probabilidade de encontrar o elétron na região entre 0 e \mathrm{L} / 2, quando este está no estado fundamental?
(e) Qual a probabilidade de encontrar o elétron na região entre 0 e \mathrm{L} / 3, quando este está no primeiro estado excitado?

Passo 1

O enunciado dá um elétron confinado num poço infinito de potencial entre x=0 e x=L. Fora desse intervalo o potencial é infinito, logo a função de onda deve ser zero fora e, nas fronteiras, satisfazer condições de contorno. As perguntas são:
(a) Mostrar que a solução espacial geral da equação de Schrödinger tem a forma \psi(x)=A \operatorname{sen}(k x)+B \cos(k x).
(b) Aplicando as condições de contorno \psi(0)=0 e \psi(L)=0, encontrar a(s) função(ões) de onda fisicamente possível(is).
(c) Determinar a constante de normalização para o elétron em todo o espaço (isto é, normalizar a função de onda dentro de 0\le x\le L).
(d) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron em 0\le x\le L/2 quando está no estado fundamental.
(e) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron em 0\le x\le L/3 quando está no primeiro estado excitado.
Informações relevantes dadas:
  • Potencial V(x)=0 para 0<x<L e V(x)=\infty fora.
  • Condições: \psi(0)=0 e \psi(L)=0.
  • Queremos as funções de onda espaciais e probabilidades em intervalos indicados.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo (parte espacial) na região onde V(x)=0:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}=E\psi(x).
Explico essa equação: \hbar é a constante reduzida de Planck, m é a massa do elétron, E a energia (autovalor) e \psi(x) a parte espacial da função de onda. Reorganizando:
\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}} + \underbrace{\frac{2mE}{\hbar^{2}}}_{k^{2}}\psi(x)=0.
Aqui definimos k^{2}=2mE/\hbar^{2}, então a equação se torna
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+k^{2}\psi=0.
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral é uma combinação linear de seno e cosseno:
\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx).
Isto responde (a): a forma matemática da solução é \psi(x)=A\operatorname{sen}(k x)+B\cos(k x) (aqui \operatorname{sen} é o seno).

Passo 3

Agora aplicamos as condições de contorno para selecionar soluções físicas.
Condição em x=0:
\psi(0)=A\sin(0)+B\cos(0)=0 \implies 0 + B\cdot 1 = 0 \implies B=0.
Logo a solução reduz-se a
\psi(x)=A\sin(kx).
Condição em x=L:
\psi(L)=A\sin(kL)=0.
Para uma solução não-trivial ( A\neq0) precisamos que \sin(kL)=0. As raízes do seno são kL=n\pi, com n inteiro. Se n=0 obtemos \psi\equiv0 (solução trivial não física). Portanto os valores permitidos são n=1,2,3,\dots. Assim
k = \frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\dots
e as funções de onda (ainda com A não normalizado) são
\psi_n(x)=A_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\qquad 0<x<L.
Isso responde (b): as funções de onda físicas são senos com k=n\pi/L, n inteiro positivo.

Passo 4

Agora normalizamos: a condição de normalização é
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}dx=1.
Mas a função é zero fora de 0<x<L, então basta normalizar no intervalo 0 a L:
\int_{0}^{L}|\psi_n(x)|^{2}dx=1.
Substituindo \psi_n(x)=A_n\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) e lembrando que |A_n|^{2} é positivo real,
|A_n|^{2}\int_{0}^{L}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx=1.
Usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},
então
\int_{0}^{L}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx = \int_{0}^{L}\frac{1-\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)}{2}dx = \left.\frac{x}{2}\right|_{0}^{L} - \left.\frac{L}{4n\pi}\sin\!\left(\frac{2n\pi x}{L}\right)\right|_{0}^{L}.
A segunda parcela é zero porque \sin(2n\pi)=0 e \sin(0)=0. Logo a integral vale L/2. Assim
|A_n|^{2}\cdot\frac{L}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad |A_n|^{2}=\frac{2}{L}.
Escolhemos A_n real e positivo por conveniência:
A_n=\sqrt{\frac{2}{L}}.

Passo 5

Portanto, as funções de onda normalizadas são
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\qquad n=1,2,3,\dots,\quad 0<x<L,
e \psi_n(x)=0 fora desse intervalo. Isso responde (c).

Passo 6

Parte (d): probabilidade de encontrar o elétron entre 0 e L/2 no estado fundamental ( n=1).
Probabilidade é a integral do quadrado do módulo da função de onda:
P_{0\to L/2}=\int_{0}^{L/2}|\psi_{1}(x)|^{2}dx = \frac{2}{L}\int_{0}^{L/2}\sin^{2}\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)dx.
Usamos de novo \sin^{2}\theta=(1-\cos 2\theta)/2. Então
\int_{0}^{L/2}\sin^{2}\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)dx = \left.\frac{x}{2}\right|_{0}^{L/2} - \left.\frac{L}{4\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)\right|_{0}^{L/2}.
Avaliação: no limite superior x=L/2, temos x/2=L/4 e \sin(2\pi x/L)=\sin(\pi)=0. No inferior dá zero. Logo a integral vale L/4. Multiplicando pelo fator \dfrac{2}{L},
P_{0\to L/2}=\frac{2}{L}\cdot\frac{L}{4}=\frac{1}{2}.
Intuitivamente, o estado fundamental tem simetria tal que metade da probabilidade fica em cada metade do poço — resultado final 1/2.

Passo 7

Parte (e): probabilidade de encontrar o elétron entre 0 e L/3 no primeiro estado excitado ( n=2).
A função de onda normalizada é \psi_{2}(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right). Então
P_{0\to L/3}=\int_{0}^{L/3}|\psi_{2}(x)|^{2}dx = \frac{2}{L}\int_{0}^{L/3}\sin^{2}\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)dx.
Usamos a primitiva geral (podemos derivar ou lembrar):
\int \sin^{2}(\alpha x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2\alpha x)}{4\alpha} + C.
Aqui \alpha = \dfrac{2\pi}{L}. Então
\int_{0}^{L/3}\sin^{2}\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)dx = \left.\left(\frac{x}{2} - \frac{\sin\!\big(\tfrac{4\pi x}{L}\big)}{4\cdot \tfrac{2\pi}{L}}\right)\right|_{0}^{L/3} = \left.\left(\frac{x}{2} - \frac{L}{8\pi}\sin\!\left(\frac{4\pi x}{L}\right)\right)\right|_{0}^{L/3}.
Avaliação em x=L/3:
\frac{L}{6} - \frac{L}{8\pi}\sin\!\left(\frac{4\pi}{3}\right).
Sabemos \sin\!\left(\dfrac{4\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\int_{0}^{L/3}\sin^{2}\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)dx = \frac{L}{6} - \frac{L}{8\pi}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = L\left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3}}{16\pi}\right).
Multiplicando pelo fator \dfrac{2}{L},
P_{0\to L/3}= \frac{2}{L}\cdot L\left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{3}}{16\pi}\right) = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{8\pi}.
Para entendimento numérico: \dfrac{\sqrt{3}}{8\pi}\approx 0{,}0689, então P\approx 0{,}4022. Isso responde (e).

Resposta

(a) \psi(x)=A\operatorname{sen}(k x)+B\cos(k x).\n
(b) \psi_n(x)=A_n\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right), com n=1,2,3,\dots.\n
(c) A_n=\sqrt{\dfrac{2}{L}}, logo \psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) para 0<x<L.\n
(d) P_{0\to L/2}=\dfrac{1}{2}.\n
(e) P_{0\to L/3}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{8\pi}\approx 0{,}4022.

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