Um elétron está confinado na região entre x=0 e x=L, onde pode mover-se livremente. Fora desta região o potencial é infinito.
(a) Mostre que a solução da parte espacial da equação de Schrödinger tem matematicamente a forma:
\psi(x)=A \operatorname{sen}(k x)+B \cos (k x) ;
(b) A partir das condições de contorno: \psi(x=0)=0 e \psi(x=L)=0, encontre a função de onda fisicamente possível;
(c) Determine a constante de normalização para este elétron em todo o espaço;
(d) Qual a probabilidade de encontrar o elétron na região entre 0 e \mathrm{L} / 2, quando este está no estado fundamental?
(e) Qual a probabilidade de encontrar o elétron na região entre 0 e \mathrm{L} / 3, quando este está no primeiro estado excitado?
Passo 1
O enunciado dá um elétron confinado num poço infinito de potencial entre x=0 e x=L. Fora desse intervalo o potencial é infinito, logo a função de onda deve ser zero fora e, nas fronteiras, satisfazer condições de contorno. As perguntas são:
(a) Mostrar que a solução espacial geral da equação de Schrödinger tem a forma \psi(x)=A \operatorname{sen}(k x)+B \cos(k x).
(b) Aplicando as condições de contorno \psi(0)=0 e \psi(L)=0, encontrar a(s) função(ões) de onda fisicamente possível(is).
(c) Determinar a constante de normalização para o elétron em todo o espaço (isto é, normalizar a função de onda dentro de 0\le x\le L).
(d) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron em 0\le x\le L/2 quando está no estado fundamental.
(e) Calcular a probabilidade de encontrar o elétron em 0\le x\le L/3 quando está no primeiro estado excitado.
Informações relevantes dadas:
Potencial V(x)=0 para 0<x<L e V(x)=\infty fora.
Condições: \psi(0)=0 e \psi(L)=0.
Queremos as funções de onda espaciais e probabilidades em intervalos indicados.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo (parte espacial) na região onde V(x)=0:
Explico essa equação: \hbar é a constante reduzida de Planck, m é a massa do elétron, E a energia (autovalor) e \psi(x) a parte espacial da função de onda. Reorganizando:
Para uma solução não-trivial (A\neq0) precisamos que \sin(kL)=0. As raízes do seno são kL=n\pi, com n inteiro. Se n=0 obtemos \psi\equiv0 (solução trivial não física). Portanto os valores permitidos são n=1,2,3,\dots. Assim
k = \frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\dots
e as funções de onda (ainda com A não normalizado) são
Avaliação: no limite superior x=L/2, temos x/2=L/4 e \sin(2\pi x/L)=\sin(\pi)=0. No inferior dá zero. Logo a integral vale L/4. Multiplicando pelo fator \dfrac{2}{L},