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Prove que os autovalores associados a um tensor simétrico são reais.
Passo 1
O enunciado pede que eu prove que os autovalores associados a um tensor simétrico são reais.
Informações dadas e objetivos explicitados:
Temos um tensor simétrico (no contexto linear, pense num operador linear representado por uma matriz real) que chamarei de \,A\,.
O tensor/matriz \,A\, satisfaz \,A^T = A\, (simetria) e tem entradas reais.
Preciso mostrar que, para qualquer autovalor \,\lambda\, associado a algum autovetor não nulo \,v\, (podendo permitir autovetores complexos), ocorre \,\lambda \in \mathbb{R}\,.
Passo 2
Defino o que é um autovalor/autovetor e escrevo a equação fundamental.
Se \,v \neq 0\, é um autovetor de \,A\, com autovalor \,\lambda\,, então vale
A v = \lambda v.
Aqui permito que \,v\, e \,\lambda\, sejam complexos inicialmente — isso não prejudica a prova, pois se eu mostrar \lambda é igual ao seu conjugado complexo, então \lambda é real.
Passo 3
Apresento e explico o produto interno Hermitiano que vou usar e a notação de conjugado-transposto.
Para vetores complexos tomo o produto interno padrão
\langle x,y\rangle = x^* y,
onde x^* = \overline{x}^T é o conjugado-transposto de x. Propriedades importantes que vou usar:
\langle x,y\rangle é um número complexo e \langle x,x\rangle = x^* x \ge 0, com igualdade somente se x=0.
Se M é uma matriz, então (x^* M y)^\ast = y^* M^* x, onde o \ast em matrizes é o conjugado-transposto.
Também explico que, por A ser real e simétrica, temos A^* = A^T = A.
Passo 4
Multiplico a equação de autovalor pela esquerda por v^* para obter uma expressão escalar conveniente.
Partindo de \,A v = \lambda v\, e multiplicando por v^* à esquerda, obtenho
v^* A v = \lambda\, v^* v.
Aqui v^* A v é um número complexo (um escalar), e v^* v = \langle v,v\rangle > 0 porque v\neq 0.
Passo 5
Faço o conjugado-transposto da equação de autovalor e uso a simetria de A.
Tomando conjugado-transposto de \,A v = \lambda v\, (ou equivalentemente conjugando e transpondo) obtemos
v^* A^* = \overline{\lambda}\, v^*.
Como A é real e simétrico, A^* = A. Multiplicando agora essa igualdade por v à direita, vem
v^* A v = \overline{\lambda}\, v^* v.
Passo 6
Comparo as duas expressões obtidas para v^* A v e concluo que \lambda é real.
Das duas igualdades
v^* A v = \lambda\, v^* v
e
v^* A v = \overline{\lambda}\, v^* v
segue que
\lambda\, v^* v = \overline{\lambda}\, v^* v.
Como v^* v > 0, posso dividir por v^* v e obter
\lambda = \overline{\lambda}.
Isto significa exatamente que \lambda é um número real.
Passo 7
Resumo final e comentário didático rápido para fixar a ideia.
O passo-chave foi usar o escalar v^* A v escrito de duas maneiras: uma a partir da equação direta do autovalor e outra a partir da equação conjugada-transposta, e então usar a propriedade A^* = A (simetria real). A positividade de v^* v garante que podemos comparar os dois lados sem ambiguidades. Portanto, qualquer autovalor de uma matriz (tensor) real e simétrica é necessariamente real — essa é uma propriedade central e muito útil em provas e aplicações (por exemplo, garantias sobre diagonalização ortogonal).
Resposta
Todos os autovalores de um tensor/matriz real simétrica são reais.