(2,5 pontos) Seja o campo vetorial
. Calcule o fluxo de
através de uma esfera de raio
com centro na origem do sistema de coordenadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma esfera. Dados fornecidos:
a superfície é uma esfera de raio
com centro na origem. A pergunta é: qual é o valor do fluxo de
através dessa esfera (presumidamente com a orientação externa)?
Passo 2
Escolha do método: vou usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Explico ele de forma clara: se
é um volume limitado por uma superfície fechada orientada para fora
, e
é um campo vetorial suficientemente suave, então o fluxo de
através de
é igual à integral tripla do divergente de
sobre
. Em fórmulas:
Por que usei este teorema? Porque a esfera é uma superfície fechada simples e
é polinomial (logo derivável em todo lugar), então as hipóteses do teorema estão satisfeitas. Em prova essa é a forma mais prática: transforma um integral de superfície em um integral de volume.
Passo 3
Calcular o divergente de
. Lembro que
, onde
são as componentes de
.
As componentes são ,
,
. Então:
As componentes são
Somando,
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo pela esfera (fronteira do volume
que é a bola de raio
) é
Agora uso um argumento de simetria: a bola
é simétrica em relação à origem. A função
é ímpar em relação à reflexão
; integrando uma função ímpar sobre uma região simétrica em torno da origem resulta em zero. Portanto
O mesmo vale para
:
Logo
(Dica prática: se preferir, pode ver isso fazendo a mudança de variável
ou
; os pontos do volume se emparelham e as contribuições se anulam.)
Passo 5
Conclusão: o fluxo do campo
através da esfera de raio
centrada na origem é
.