(2,5 pontos) Seja o campo vetorial \mathbf{F}=2 x_{1} x_{3} \mathbf{i}_{\mathbf{1}}+x_{2}^{2} \mathbf{i}_{\mathbf{2}}+x_{3}^{2} \mathbf{i}_{\mathbf{3}}. Calcule o fluxo de \mathbf{F} através de uma esfera de raio a com centro na origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma esfera. Dados fornecidos:
\mathbf{F}=2 x_{1} x_{3}\,\mathbf{i}_{1}+x_{2}^{2}\,\mathbf{i}_{2}+x_{3}^{2}\,\mathbf{i}_{3},
a superfície é uma esfera de raio a com centro na origem. A pergunta é: qual é o valor do fluxo de \mathbf{F} através dessa esfera (presumidamente com a orientação externa)?

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss). Explico ele de forma clara: se V é um volume limitado por uma superfície fechada orientada para fora \partial V, e \mathbf{F} é um campo vetorial suficientemente suave, então o fluxo de \mathbf{F} através de \partial V é igual à integral tripla do divergente de \mathbf{F} sobre V. Em fórmulas:
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Por que usei este teorema? Porque a esfera é uma superfície fechada simples e \mathbf{F} é polinomial (logo derivável em todo lugar), então as hipóteses do teorema estão satisfeitas. Em prova essa é a forma mais prática: transforma um integral de superfície em um integral de volume.

Passo 3

Calcular o divergente de \mathbf{F}. Lembro que \nabla\cdot\mathbf{F}=\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}+\dfrac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}+\dfrac{\partial F_{3}}{\partial x_{3}}, onde F_{1},F_{2},F_{3} são as componentes de \mathbf{F}.
As componentes são F_{1}=2x_{1}x_{3}, F_{2}=x_{2}^{2}, F_{3}=x_{3}^{2}. Então:
\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}(2x_{1}x_{3})=2x_{3},
\frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}=\frac{\partial}{\partial x_{2}}(x_{2}^{2})=2x_{2},
\frac{\partial F_{3}}{\partial x_{3}}=\frac{\partial}{\partial x_{3}}(x_{3}^{2})=2x_{3}.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{F}=2x_{3}+2x_{2}+2x_{3}=2x_{2}+4x_{3}.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo pela esfera (fronteira do volume V que é a bola de raio a) é
\iint_{\text{esfera}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{B(0,a)}(2x_{2}+4x_{3})\,dV.
Agora uso um argumento de simetria: a bola B(0,a) é simétrica em relação à origem. A função x_{2} é ímpar em relação à reflexão x_{2}\mapsto -x_{2}; integrando uma função ímpar sobre uma região simétrica em torno da origem resulta em zero. Portanto
\iiint_{B(0,a)} x_{2}\,dV=0.
O mesmo vale para x_{3}:
\iiint_{B(0,a)} x_{3}\,dV=0.
Logo
\iiint_{B(0,a)}(2x_{2}+4x_{3})\,dV=2\cdot 0 + 4\cdot 0=0.
(Dica prática: se preferir, pode ver isso fazendo a mudança de variável x_{2}\mapsto -x_{2} ou x_{3}\mapsto -x_{3}; os pontos do volume se emparelham e as contribuições se anulam.)

Passo 5

Conclusão: o fluxo do campo \mathbf{F} através da esfera de raio a centrada na origem é 0.

Resposta

0

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