( 2,5 pontos)
Se
T_{i k}=\left(\begin{array}{lll} 5 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 2 \end{array}\right)
então determine os autovalores e os correspondentes autovetores.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
T=\begin{pmatrix}5 & 0 & 2\\[4pt]0 & 1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 2\end{pmatrix}
e pede para determinar os autovalores (eigenvalues) e os autovetores (eigenvectors) correspondentes.
Informações relevantes que temos: os elementos da matriz são T_{11}=5, T_{12}=0, T_{13}=2, T_{21}=0, T_{22}=1, T_{23}=0, T_{31}=2, T_{32}=0, T_{33}=2.
O que precisamos encontrar: todos os valores \lambda tais que existe v\neq 0 com T v=\lambda v, e para cada \lambda um(s) vetor(es) v não nulos que satisfaçam isso.]

Passo 2

Definição e método: um valor \lambda é autovalor de T se e somente se existir v\neq 0 com
T v=\lambda v.
Isto é equivalente a resolver o sistema homogêneo (T-\lambda I)v=0. Para existirem soluções não triviais precisamos que
\det(T-\lambda I)=0.
Vamos calcular \det(T-\lambda I). Primeiro escrevemos T-\lambda I:
T-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 0 & 2\\[4pt]0 & 1-\lambda & 0\\[4pt]2 & 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Cálculo do determinante. Observa-se que a segunda linha tem zeros nas colunas 1 e 3, portanto podemos usar a expansão por essa linha (ou notar que o determinante se separa com o fator 1-\lambda). Temos:
\det(T-\lambda I)=(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}5-\lambda & 2\\[4pt]2 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculamos a determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}5-\lambda & 2\\[4pt]2 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(5-\lambda)(2-\lambda)-2\cdot 2.
Expandindo:
(5-\lambda)(2-\lambda)-4=(10-7\lambda+\lambda^2)-4=\lambda^2-7\lambda+6.
Portanto
\det(T-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-7\lambda+6).]

Passo 4

Fatoramos o polinômio quadrático \lambda^2-7\lambda+6. Procuramos números cuja soma é 7 e produto 6; esses números são 1 e 6. Assim
\lambda^2-7\lambda+6=(\lambda-1)(\lambda-6).
Então
\det(T-\lambda I)=(1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda-6).
Repare que (1-\lambda)(\lambda-1)=-(\lambda-1)^2, logo as raízes (autovalores) são \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=6 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 5

Agora encontramos os autovetores. Começo por \lambda=6\). Precisamos resolver \((T-6I)v=0\). Escrevendo a matriz: \[T-6I=\begin{pmatrix}5-6 & 0 & 2\\[4pt]0 & 1-6 & 0\\[4pt]2 & 0 & 2-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 2\\[4pt]0 & -5 & 0\\[4pt]2 & 0 & -4\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^\top, o sistema (T-6I)v=0 dá as equações:
\begin{cases} - x + 2 z = 0,\\[4pt] -5 y = 0,\\[4pt] 2 x -4 z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=0\]. Da primeira vem \(x=2z. A terceira é dependente da primeira (substituindo x=2z fica 0=0). Portanto os vetores solução têm a forma
v = (2z,\,0,\,z)^\top = z(2,0,1)^\top,\quad z\neq 0.
Podemos escolher o autovetor mais simples (2,0,1)^\top (qualquer múltiplo não nulo também vale).]

Passo 6

Agora \lambda=1\). Resolvemos \((T-I)v=0\). A matriz é \[T-I=\begin{pmatrix}5-1 & 0 & 2\\[4pt]0 & 1-1 & 0\\[4pt]2 & 0 & 2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0 & 2\\[4pt]0 & 0 & 0\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema para v=(x,y,z)^\top:
\begin{cases} 4x + 2z = 0,\\[4pt] 0 = 0,\\[4pt] 2x + z = 0. \end{cases}
A segunda equação não impõe restrição em y\] (ou seja, \(y é livre). Das outras duas obtemos a mesma relação 2x+z=0, isto é z=-2x. Logo as soluções são
v=(x,y,z)^\top=(x,\,y,\,-2x)^\top = x(1,0,-2)^\top + y(0,1,0)^\top.
Portanto um espaço de autovetores de dimensão 2 (geometric multiplicity 2), com uma base de autovetores independentes por exemplo
(1,0,-2)^\top\quad\text{e}\quad(0,1,0)^\top.]

Passo 7

Comentário prático e rápida verificação: como T é simétrica, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Verificamos:
(2,0,1)\cdot(1,0,-2)=2\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot(-2)=0,
e
(2,0,1)\cdot(0,1,0)=0,
logo (2,0,1)^\top (autovalor 6) é ortogonal aos dois autovetores de \lambda=1. Isso confirma coerência das soluções.

Resposta

\lambda=6: autovetor (2,0,1)^\top.\n \lambda=1 (multiplicidade algébrica 2): autovetores geradores do espaço próprio (1,0,-2)^\top e (0,1,0)^\top.

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