e pede para determinar os autovalores (eigenvalues) e os autovetores (eigenvectors) correspondentes.
Informações relevantes que temos: os elementos da matriz são T_{11}=5, T_{12}=0, T_{13}=2, T_{21}=0, T_{22}=1, T_{23}=0, T_{31}=2, T_{32}=0, T_{33}=2.
O que precisamos encontrar: todos os valores \lambda tais que existe v\neq 0 com T v=\lambda v, e para cada \lambda um(s) vetor(es) v não nulos que satisfaçam isso.]
Passo 2
Definição e método: um valor \lambda é autovalor de T se e somente se existir v\neq 0 com
T v=\lambda v.
Isto é equivalente a resolver o sistema homogêneo (T-\lambda I)v=0. Para existirem soluções não triviais precisamos que
\det(T-\lambda I)=0.
Vamos calcular \det(T-\lambda I). Primeiro escrevemos T-\lambda I:
Cálculo do determinante. Observa-se que a segunda linha tem zeros nas colunas 1 e 3, portanto podemos usar a expansão por essa linha (ou notar que o determinante se separa com o fator 1-\lambda). Temos:
Repare que (1-\lambda)(\lambda-1)=-(\lambda-1)^2, logo as raízes (autovalores) são \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=6 com multiplicidade algébrica 1.
Se v=(x,y,z)^\top, o sistema (T-6I)v=0 dá as equações:
\begin{cases} - x + 2 z = 0,\\[4pt] -5 y = 0,\\[4pt] 2 x -4 z = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem y=0\]. Da primeira vem \(x=2z. A terceira é dependente da primeira (substituindo x=2z fica 0=0). Portanto os vetores solução têm a forma
v = (2z,\,0,\,z)^\top = z(2,0,1)^\top,\quad z\neq 0.
Podemos escolher o autovetor mais simples (2,0,1)^\top (qualquer múltiplo não nulo também vale).]
A segunda equação não impõe restrição em y\] (ou seja, \(y é livre). Das outras duas obtemos a mesma relação 2x+z=0, isto é z=-2x. Logo as soluções são