1. ( 2,0 pontos) Prove que:
    (a) \left(0,5\right. ponto) \operatorname{det}\left(S^{-1} A S\right)=\operatorname{det}(A).
    (b) ( 0,5 ponto) Se M é uma matriz quadrada idempotente invertível, então M é a matriz identidade.
    (c) (1,0 ponto) Sejam A e B duas matrizes n \times n. Se A B=-B A, então \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B) \neq -\operatorname{det}(B) \operatorname{det}(A) para n par.

Passo 1

O enunciado pede para provar três fatos sobre determinantes e matrizes quadradas:
  1. A invariância do determinante sob mudança de base (similaridade): \det(S^{-1}AS)=\det(A).
  2. Que uma matriz quadrada idempotente ( M^2=M) e invertível é necessariamente a matriz identidade.
  3. Que, se A e B são matrizes n\times n com AB=-BA, então
\det(A)\,\det(B)=(-1)^n\,\det(B)\,\det(A),
de onde, para n par, \det(A)\,\det(B)\neq -\det(B)\,\det(A) (desde que esse produto seja não nulo).
Vamos usar as propriedades básicas de determinante:
  • Multiplicatividade: \det(XY)=\det(X)\det(Y).
  • \det(cI)=c^n para escalar c e matriz identidade I de ordem n.
  • Se X é invertível, \det(X^{-1})=1/\det(X).

Passo 2

Prova de (a): basta aplicar a multiplicatividade e a regra do inverso.
\det(S^{-1} A S) =\det(S^{-1})\,\det(A)\,\det(S) =\frac{1}{\det(S)}\,\det(A)\,\det(S) =\det(A).

Passo 3

Prova de (b): seja M quadrada, idempotente ( M^2=M) e invertível.
Multiplicando M^2=M à esquerda por M^{-1} obtém-se
M = I.
Em detalhe:
\;M^{-1}M^2 = M^{-1}M\implies (M^{-1}M)M = I\cdot M\implies IM = M\implies M=I.

Passo 4

Prova de (c): suponha AB=-BA. Então
\det(AB) = \det(-BA).
Como -BA = (-I)\,B\,A e \det(-I)=(-1)^n, segue
\det(AB) =\det(-I)\,\det(B)\,\det(A) =(-1)^n\,\det(B)\,\det(A).
Por outro lado, pela multiplicatividade,
\det(AB)=\det(A)\,\det(B). Igualando,
\det(A)\,\det(B) = (-1)^n\,\det(B)\,\det(A).
Para n par, (-1)^n=1, logo
\det(A)\,\det(B)=\det(B)\,\det(A),
que não pode ser igual a
-\det(B)\,\det(A)
a menos que \det(A)\det(B)=0. Se o produto for não nulo (por exemplo, se A e B forem invertíveis), fica imediatamente
\det(A)\,\det(B)\neq -\det(B)\,\det(A).

Resposta

(a) \det(S^{-1}AS)=\det(A).
(b) M^2=M e M invertível \implies M=I.
(c) De AB=-BA segue
\displaystyle\det(A)\det(B)=(-1)^n\det(B)\det(A),
portanto para n par \det(A)\det(B)\neq -\det(B)\det(A) (quando \det(A)\det(B)\neq0).

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