1. (2,0 pontos) Seja A a mat riz de tamanho n \times n, onde n é par, abaixo. Prove que, se \lambda+\mu=2-n, então A é singular.
A=\left[\begin{array}{ccccc} \lambda & 1 & \ldots & 1 & \mu \\\\ 1 & \lambda & \ldots & \mu & 1 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\\\ 1 & \mu & \ldots & \lambda & 1 \\\ \mu & 1 & \ldots & 1 & \lambda \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A de tamanho n\times n (com n par), cujas entradas são
a_{ii}=\lambda,\quad a_{ij}=\mu\text{ se }i+j=n+1\\ (i\neq j),\quad a_{ij}=1\text{ caso contrário}.á
Queremos provar que, se \lambda+\mu=2-n, então A é singular. Para isso, basta encontrar um vetor não-nulo u tal que Au=0.

Passo 2

Definimos o vetor
u=(1,1,\dots,1)^{T}.
Para cada componente i de Au, temos
(Au)_i \;=\;\sum_{j=1}^n a_{ij}\,u_j \;=\;\underbrace{\lambda\cdot1}_{j=i} +\underbrace{\mu\cdot1}_{j=n+1-i} +\sum_{\substack{j=1\j\neq i,n+1-i}}^n 1\cdot1.
Há exatamente (n-2) termos iguais a 1 fora da diagonal principal e da antidiagonal, logo
(Au)_i=\lambda+(n-2)\cdot1+\mu =\lambda+(n-2)+\mu.

Passo 3

Usando a condição \lambda+\mu=2-n, obtemos
\lambda+(n-2)+\mu =(\lambda+\mu)+(n-2) =(2-n)+(n-2) =0.
Portanto, Au=0.

Passo 4

Como u\neq0 e Au=0, concluímos que \ker A\neq\{0\}, isto é, \det A=0. Logo, A é singular sempre que \lambda+\mu=2-n.

Resposta

A matriz A é singular sempre que \lambda+\mu=2-n.

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