- (2,0 pontos) Seja
a mat riz de tamanho
, onde
é par, abaixo. Prove que, se
, então
é singular.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz
de tamanho
(com
par), cujas entradas são
Queremos provar que, se
, então
é singular. Para isso, basta encontrar um vetor não-nulo
tal que
.
Passo 2
Definimos o vetor
Para cada componente
de
, temos
Há exatamente
termos iguais a
fora da diagonal principal e da antidiagonal, logo
Passo 3
Usando a condição
, obtemos
Portanto,
.
Passo 4
Como
e
, concluímos que
, isto é,
. Logo,
é singular sempre que
.
Resposta
A matriz
é singular sempre que
.