Sejam A e B matrizes de tamanho n \times n. Prove o seguinte:
Se A^{T} A=I, então \operatorname{det}(A)= \pm 1.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes n\times n e que precisamos provar que, se
A^{T}A = I,
então \det(A)=\pm1. O conteúdo principal aqui é propriedades de determinante:
  1. \det(XY)=\det(X)\,\det(Y).
  2. \det(X^{T})=\det(X).
  3. \det(I)=1.

Passo 2

Aplicamos a propriedade do determinante ao produto A^{T}A. Como A^{T}A=I, temos
\det\bigl(A^{T}A\bigr)=\det(I).

Passo 3

Pelas propriedades de determinante,
\det\bigl(A^{T}A\bigr) =\det\bigl(A^{T}\bigr)\,\det(A) =\det(A)\,\det(A) =\bigl(\det(A)\bigr)^{2}.

Passo 4

Como \det(I)=1, da igualdade do Passo 2 obtemos
\bigl(\det(A)\bigr)^{2}=1.

Passo 5

Resolver \bigl(\det(A)\bigr)^{2}=1 implica
\det(A)=1 \quad\text{ou}\quad \det(A)=-1.

Resposta

\det(A)=\pm1.

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