(2 pontos) Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a função tal que f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\sin (x)}{x} \text { se } x<0 \\\\ 0 \text { se } x=0 \\\ \frac{\sin (2 x)}{2 x} \text { se } x>0\end{array}\right.
Calcule, se existir, \lim _{x \rightarrow 0} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função piecewise
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\sin(x)}{x}, & \text{se } x<0,\\[6pt] 0, & \text{se } x=0,\\[6pt] \displaystyle \frac{\sin(2x)}{2x}, & \text{se } x>0, \end{cases}
e pede para calcular, se existir, \lim_{x\to0} f(x).
O que o problema pede exatamente:
  • Determinar o valor da \emph{limite bilateral} \lim_{x\to0} f(x).
  • Lembrar que a limite bilateral existe se, e só se, as \emph{limites laterais} à esquerda e à direita forem iguais:
\lim_{x\to0^-} f(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to0^+} f(x).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Para x<0 temos f(x)=\dfrac{\sin(x)}{x}.
  • Para x>0 temos f(x)=\dfrac{\sin(2x)}{2x}.
  • O valor em x=0 é f(0)=0 (isso importa para continuidade, não diretamente para a existência da limite).]

Passo 2

Estratégia geral e definição usada: vou calcular as duas limites laterais e comparar.
Lembrete útil (fórmula/conceito): a razão trigonométrica básica que vamos usar é
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
Essa é uma propriedade clássica e é a pedra-chave aqui. Vou demonstrá-la de forma elementar (usando desigualdades) para você poder aplicar com segurança.

Passo 3

Prova do fato \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1 (passo-a-passo, sem pular etapas).
Considere u com 0<u<\tfrac{\pi}{2}. Pela geometria do círculo trigonométrico obtém-se a desigualdade clássica
\sin u < u < \tan u.
Aqui \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Da desigualdade u<\tan u segue
u < \frac{\sin u}{\cos u}\quad\Rightarrow\quad u\cos u < \sin u.
Dividindo por u>0 obtemos
\cos u < \frac{\sin u}{u}.
Juntando com \sin u < u (dividindo por u>0) resulta
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1\qquad\text{para }0<u<\tfrac{\pi}{2}.
Agora fazemos u\to0^+. Sabemos que \lim_{u\to0}\cos u=1. Pela regra do confronto (teorema do sanduíche),
\lim_{u\to0^+}\frac{\sin u}{u}=1.
Para u\to0^- usamos que \sin é função ímpar, isto é \sin(-v)=-\sin v; então
\frac{\sin(-v)}{-v}=\frac{\sin v}{v}.
Portanto o limite à esquerda coincide com o limite à direita, e concluímos
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 4

Cálculo da limite à esquerda de f:
Para x<0 temos f(x)=\dfrac{\sin x}{x}. Então
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}.
Pelo resultado do Passo 3,
\lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Cálculo da limite à direita de f:
Para x>0 temos f(x)=\dfrac{\sin(2x)}{2x}. Faça a substituição u=2x. Quando x\to0^+ temos u\to0^+. Assim
\lim_{x\to0^+} f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(2x)}{2x}=\lim_{u\to0^+}\frac{\sin u}{u}.
Pelo resultado do Passo 3 essa limite vale 1. Logo
\lim_{x\to0^+} f(x)=1.

Passo 6

Conclusão sobre a limite bilateral:
Como as duas limites laterais coincidem:
\lim_{x\to0^-} f(x)=1\quad\text{e}\quad\lim_{x\to0^+} f(x)=1,
segue que a limite bilateral existe e
\lim_{x\to0} f(x)=1.
Observação extra (útil para a prova): apesar de \lim_{x\to0} f(x)=1, o valor da função no ponto é f(0)=0; portanto f é descontínua em x=0. (Isso só é um comentário — a pergunta pedia apenas a limite.)

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0} f(x)=1

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