O valor em x=0 é f(0)=0 (isso importa para continuidade, não diretamente para a existência da limite).]
Passo 2
Estratégia geral e definição usada: vou calcular as duas limites laterais e comparar.
Lembrete útil (fórmula/conceito): a razão trigonométrica básica que vamos usar é
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
Essa é uma propriedade clássica e é a pedra-chave aqui. Vou demonstrá-la de forma elementar (usando desigualdades) para você poder aplicar com segurança.
Passo 3
Prova do fato \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1 (passo-a-passo, sem pular etapas).
Considere u com 0<u<\tfrac{\pi}{2}. Pela geometria do círculo trigonométrico obtém-se a desigualdade clássica
\sin u < u < \tan u.
Aqui \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Da desigualdade u<\tan u segue
u < \frac{\sin u}{\cos u}\quad\Rightarrow\quad u\cos u < \sin u.
Dividindo por u>0 obtemos
\cos u < \frac{\sin u}{u}.
Juntando com \sin u < u (dividindo por u>0) resulta
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1\qquad\text{para }0<u<\tfrac{\pi}{2}.
Agora fazemos u\to0^+. Sabemos que \lim_{u\to0}\cos u=1. Pela regra do confronto (teorema do sanduíche),
\lim_{u\to0^+}\frac{\sin u}{u}=1.
Para u\to0^- usamos que \sin é função ímpar, isto é \sin(-v)=-\sin v; então
\frac{\sin(-v)}{-v}=\frac{\sin v}{v}.
Portanto o limite à esquerda coincide com o limite à direita, e concluímos
Observação extra (útil para a prova): apesar de \lim_{x\to0} f(x)=1, o valor da função no ponto é f(0)=0; portanto f é descontínua em x=0. (Isso só é um comentário — a pergunta pedia apenas a limite.)