(a) Determine todas as funções f que tornam exata a equação diferencial \left(y^{2} \operatorname{sen} x\right) d x+y f(x) d y=0.
(b) A equação g(x) d y+(y+x) d x=0 tem h(x)=x como fator integrante. Determine todas as possíveis funções g.
(c) A equação e^{x} \operatorname{sec} y-\operatorname{tg} y+y^{\prime}=0 tem um fator integrante da forma f(x, y)=e^{a x} \cos y. Determine a e resolva a equação.
(d) Determine um fator integrante da forma h(x, y)=x^{n} y^{m} para a equação
y\left(y^{2}+1\right) d x+x\left(y^{2}-1\right) \ln x d y=0
e resolva-a.
(e) Determine um fator integrante da forma \mu=\mu\left(x+y^{2}\right) para a equação
\left(3 x+2 y+y^{2}\right) d x+\left(x+4 x y+5 y^{2}\right) d y=0 .
  1. Mostre que y_{1} é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
    (a) y^{\prime}=1+x^{2}-2 x y+y^{2}, y_{1}=x
    (b) x^{2} y^{\prime}=-1-x y+x^{2} y^{2}, y_{1}=x^{-1}
    (c) 2 y^{\prime} \cos x=2 \cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x+y^{2}, y_{1}=\operatorname{sen} x
    (d) x^{2} y^{\prime}+y^{2}+x y=3 x^{2}, y_{1}=x
    (e) x^{2} y^{\prime}-x^{2} y^{2}+x y+1=0, y_{1}=x^{-1}
    (f) y^{\prime}-1-x^{2}+2 x y-y^{2}=0, y_{1}=x
  2. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
    (a) y^{\prime}-y=2 x e^{2 x}, y(0)=1
    (b) y^{\prime}+2 y=x e^{-2 x}, y(1)=0
    (c) x^{2} y^{\prime}+2 x y=\cos x, y(\pi)=0
    (d) x y^{\prime}+2 y=\operatorname{sen} x, y(\pi / 2)=1
    (e) y^{\prime}=x+y, y(0)=1
    (f) (\cos x) y^{\prime}-(\operatorname{sen} x) y=1, y(2 \pi)=\pi
    (g) y^{\prime}=y^{2}, y(0)=1
    (h) y^{\prime}=\frac{x^{2}}{y\left(1+x^{3}\right)}, y(0)=1
    (i) y^{\prime}=\frac{3 x^{2}+4 x+2}{2 y-2}, y(0)=-1
    (j) y^{\prime}=\frac{y \cos x}{1+2 y^{2}}, y(0)=1
    (k) y^{\prime}=\frac{2 x}{y+x^{2} y}, y(0)=-2
    (l) y^{\prime}=\frac{y^{3}}{1-2 x y^{2}}, y(0)=1

& Respostas

(1)
(a) y \equiv 0 e y=\frac{1}{C-x};
(b) y=C x;
(c) y= \pm \sqrt{x^{2}+C};
(d) y \equiv 1, y \equiv 2, y=\frac{C e^{x}-2}{C e^{x}-1};
(e) y=\frac{1}{2} \ln \left(2 e^{x}+C\right);
(f) y=\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}-3-C x}{x}};
(g) 3 \operatorname{sen} y-\operatorname{sen}^{3} x=3 \operatorname{tg} x+C; (h) y=C(x / e)^{x}
(i) y \equiv 0, y \equiv 3 e y=\frac{3}{1-C e^{-2 / x}};
(j) y^{2}-2 y=x^{3}+2 x^{2}+2 x+C;(k) \ln |y|+y^{2}=\operatorname{sen} x+C;
(l) 3 y^{2}-2 x^{3}=C; (m) 3 y^{2}-2 \ln \left|1+x^{3}\right|=C; (n) y=0 e y=(C-\cos x)^{-1};
(o) y=\operatorname{tg}\left(x+x^{2} / 2+C\right);
§ y=(1 / 2) \arctan (x+(1 / 2) \operatorname{sen}(2 x)+C); (q) y= \pm 1 e y=\operatorname{sen}(\ln |x|+C);
® y^{2}-x^{2}+2\left(e^{y}-e^{-x}\right)=C; (s) 3 y+y^{3}-x^{3}=C; (t) y^{2}+y=x^{2}+C.
(2)
(a) y=C x^{3}-\frac{x}{2};
(b) y=C e^{2 x}-e^{x};
(c) y=-1 / 2+C e^{x^{2}};
(d) y=C e^{-3 x}+(x / 3)-(1 / 9)+e^{-2 x};
(e) y=C e^{2 x}+x^{3} e^{2 x} / 3;(f) y=C e^{-x}+1+x^{2} e^{-x} / 2; (g) y=C / x+(3 \cos 2 x) /(4 x)+(3 / 2) \operatorname{sen} 2 x;
(h) y=C e^{x}+2 x e^{x};
(i) y=(C-x \cos x+\operatorname{sen} x) / x^{2}; (j)
(j) y=(x+C) e^{2 x}; (k) y=(C-x \cos x+\operatorname{sen} x) / x^{2};
(l) y=(C+\operatorname{sen} x) / x^{2}; (m) y=\frac{1}{2}\left(x^{2}-1\right)+C e^{-x^{2}};
(n) y=\frac{x+C}{\operatorname{sen} x} ;( o ) y=e^{-x^{2} / 2}(\ln |x|+C);
§ y=\frac{C-15 x-10 x^{3}-3 x^{5}}{15 \sqrt{1+x^{2}}};
(3)
(a) y \equiv 0, y^{2}=\frac{1}{6 x+C x e^{-x}};
(b) y \equiv 0, y=\frac{e^{x}}{\sqrt[3]{C-3 x}};
(c) y \equiv 0, y^{2}=\frac{x^{3}}{C-x};
(d) y \equiv 0, y=\frac{27 x^{6}}{\left(C-\ln \left(x^{2}\right)\right)^{3}};
(e) y=C e^{10 x}+\frac{20 x+2}{25};
(f) y= \pm\left(C e^{-2 x}+1\right)^{-1 / 2};
(g) y=\left(2 / 5 x+C x^{4}\right)^{-1 / 2}; (h) y=\left(1+C e^{-x}\right)^{-1};
(i) y=\left(-1 / 2+C e^{-x^{2}}\right)^{-1}
(4)
(a) y=C x+x \ln |x|;
(b) y=C x^{2};
(c) \arctan (y / x)-\ln |x|=C;
(d) y=C x^{2}(1-C x)^{-1};
(e) |y-x|=C|y+x|^{3};
(f) |y+x|(y+4 x)^{2}=C; (g) -\frac{2 x}{x+y}=C+\ln |x+y|; (h) \frac{x}{x+y}+\ln |x|=C;
(i) y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=C x^{2} se x>0 e y-\sqrt{x^{2}+y^{2}}=-C se x<0; (j) 2 \arcsin (y / x)-\ln |x|=C;
(k) e^{-y / x}-\ln |x|=C; (l) \sqrt{1+(y / x)^{2}}=C x; (o) \operatorname{tg}\left(\frac{y}{x}\right)=\ln |x|+C; § y=(1 / 2) x \ln (2 \ln |x|+C);
(q) y=C x^{2}-x; ® y=\frac{3 x}{1-C x^{3}}; (s) y+x \ln |y|=C x; (t) y=x \operatorname{tg}(C+\ln x);
(5)
(a) x^{2}+2 x y=C;
(b) x^{2}+y^{2}+2 x e^{y}-2 x^{2} y=C;
(c) y=\frac{x+C}{\operatorname{sec} x+\operatorname{tg} x};
(d) y^{3}\left(x^{2}-y^{2}\right)=C x;
(e) x^{3}+3 x y^{2}=C e^{-3 y};
(f) y=\arcsin (C-x);
(g) 4 x y-x^{4}-y^{4}=0;
(h) y=\frac{C-x^{3}}{x+4};
(i) y=\frac{x^{2}+C}{2(1-2 x)};
(j) x y-x^{3}-y^{3}=C; (k) y=\arcsin \left(\frac{C-x^{2}}{x}\right);
(l) 15 x^{3} y^{2}-3 x^{5}+5 x^{3}=C; (m) x^{2 / 3} y^{2}+2 x^{2 / 3}=C;
(n) y=\frac{C-x^{4}}{2 x^{3}}; (o) y= \pm \sqrt{C-x}; § x^{3} \operatorname{tg} y+y^{4}+\frac{y^{3}}{x^{2}}=C; (q) y^{2}-2 x y+\ln \left(x^{2}\right)=C;
(l) x y-\ln |y|=C;
(s) y \ln |x|+3 x^{2}-2 y=0; (t) x^{2}\left(y^{3}+1\right)=C;
(6)
(a) f(x)=C-2 \cos x;
(b) g(x)=\frac{x}{2}+\frac{C}{x}; (c) a=-1, x+e^{-x} \operatorname{sen} y=C;
(d) n=-1, m=-2,\left(y^{2}+1\right) \ln x=C y e y \equiv 0;
(e) \mu\left(x+y^{2}\right)=x+y^{2};
(7)
(a) y=x+(C-x)^{-1};
(b) y=x^{-1}+2 x\left(c-x^{2}\right)^{-1};
(c) y=\operatorname{sen} x+(C \cos x-(1 / 2) \operatorname{sen} x)^{-1};
(d) y=x+4 x\left(4 C x^{4}-1\right)^{-1};
(e) y=x^{-1}+2 x\left(C-x^{2}\right)^{-1}; (f) y=x+(C-x)^{-1}
(8)
(a) y=3 e^{x}+2(x-1) e^{2 x};
(b) y=(1 / 2)\left(x^{2}-1\right) e^{-2 x};
(c) y=x^{-2} \operatorname{sen} x;
(d) y=x^{-2}\left(\pi^{2} / 4-1-x \cos x+\operatorname{sen} x\right);
(e) y=2 e^{x}-x-1; (f) y=\frac{x-\pi}{\cos x}; (g) y=(1-x)^{-1};
(h) y=\left(1+(2 / 3) \ln \left(1+x^{3}\right)\right)^{1 / 2}; (i) y=1-\sqrt{x^{3}+2 x^{2}+2 x+4}; (i)
(j) \ln |y|+y^{y}=1+\operatorname{sen} x;
(k) y=-\left(2 \ln \left(1+x^{2}\right)+4\right)^{1 / 2};
(l) x y^{2}-\ln |y|=0

Parte 2 - Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem

Decaimento radioativo

  1. O isótopo radioativo tório 234 se desintegra à uma taxa proporcional à sua massa presente. Se 100 mg desta substância se reduzem à 82.04 mg em uma semana, encontre uma expressão para a quantidade deste isótopo em qualquer momento e calcule a meia-vida \tau deste material.
  2. O decaimento do isótopo radioativo plutônio 241 satisfaz à equação diferencial
Q^{\prime}=-0,0525 Q .
(a) Determine a meia-vida desta substância.
(b) Se hoje dispusermos de 50 mg desta substância, quanto restará dela depois de decorridos 10 anos?
3. O elemento einsteinio 253 decai à uma taxa proporcional à sua massa presente. Determine a meia-vida \tau deste material, sabendo que o mesmo perde um terço de sua massa em 11.7 dias.
4. A meia-vida do elemento rádio 226 é de 1620 anos. Determine o tempo necessário para que uma amostra deste elemento tenha sua massa reduzida a 3/4 do original.
5. O carbono-14 é um isótopo radioativo natural do elemento carbono presente em todos os organismos vivos. Enquanto um organismo permanece vivo a relação quantitativa entre o carbono14 e o carbono-12 permanece constante. O químico norte-americano Willard Libbs descobriu nos anos 50 que, a partir da morte de organismo, o carbono-14 se transforma em carbono-12 a uma taxa proporcional à quantidade de carbono-14 existente. O carbono-14 é, dentre os isótopos estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: 5730 anos.
(a) Em 1988, cientistas do Museu Britânico tiveram acesso ao corte de tecido de linho chamado de Santo Sudário e constataram que o tecido conservava ainda 92 \% de sua quantidade original de carbono-14. Determine, a partir destes dados, a data em que o tecido foi confeccionado.*
(b) Em 2008, cientistas ingleses constataram que o material orgânico em torno do Stonehenge, o misterioso monumento erigido no sul da Inglaterra, continha 59 \% de sua quantidade original de carbono-14. Determine uma data provável para a sua construção.

Aplicações financeiras

  1. Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial C_{0}>0 deseja investílo à uma taxa anual de juros de \alpha \% ao ano.
    (a) Mostre que se a aplicação tiver rendimento uma única vez ao ano, então o capital C(t) após t anos será dado por C(t)=C_{0}(1+\alpha)^{t}.
    (b) Mostre que se a aplicação tiver k composições de rendimento \alpha / k \% por ano, então o capital após t anos será C(t)=C_{0}\left(1+\frac{\alpha}{k}\right)^{k t}. Estude o que ocorre para valores grandes de k.
    (c) Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo assim, o capital investido cresce continuamente à razão \alpha em relação ao capital investido. Encontre uma expressão para o capital C(t) após t anos.
    (d) Compare as três aplicações descritas acima e decida qual delas é mais rentável.

  1. *O resultado do teste, motivo de intensa controvérsia, é debatido até hoje.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede em cada item e as informações dadas.
(a) Determinar todas as funções \\ f tais que a equação diferencial
\left(y^{2}\,\operatorname{sen} x\right)\,dx + y\,f(x)\,dy = 0
seja uma equação exata.
(b) A equação
g(x)\,dy + (y+x)\,dx = 0
tem h(x)=x como fator integrante. Determinar todas as possíveis funções g(x).
(c) A equação
e^{x}\operatorname{sec} y - \operatorname{tg} y + y' = 0
pode escrever-se como
\big(e^{x}\operatorname{sec} y - \tan y\big)\,dx + dy = 0.
Há um fator integrante da forma f(x,y)=e^{a x}\cos y. Determinar a e resolver a equação.
(d) Procurar um fator integrante da forma h(x,y)=x^{n}y^{m} para a equação
y\big(y^{2}+1\big)\,dx + x\big(y^{2}-1\big)\ln x\,dy = 0,
determinando n,m e resolver a equação.
(e) Procurar um fator integrante que dependa apenas de x+y^{2}, ou seja \mu=\mu(x+y^{2}), para a equação
\big(3x+2y+y^{2}\big)\,dx + \big(x+4xy+5y^{2}\big)\,dy = 0.
Agora começa a resolução efetiva em cada item, com os conceitos necessários explicados ao longo do caminho.

Passo 2

Conceito-chave (para todos os itens): equação diferencial do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se e somente se existir função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x = M e \Phi_y = N. Uma condição prática (em domínio onde M,N têm derivadas contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Se essa condição não vale, às vezes podemos multiplicar a equação por um fator integrante \mu(x,y) (não nulo) tal que \mu M\,dx + \mu N\,dy seja exata. Para fatores do tipo \mu(x) usamos a condição
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx} = \frac{M_y - N_x}{N},
dependendo apenas de x; para \mu(y) análoga condição depende só de y. Para fatores mais gerais (por exemplo \mu=\mu(x+y^2) ou \mu=x^n y^m) usamos a forma geral da condição de exatidão com a regra da cadeia.
Com isso, vamos aplicar passo a passo aos itens.

Passo 3

Dados:
M(x,y) = y^{2}\,\operatorname{sen} x,\qquad N(x,y)=y\,f(x).
A condição de exatidão é \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y\,\operatorname{sen} x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y\,f'(x).
Igualando (para que seja exata para todo x,y):
2y\,\operatorname{sen} x = y\,f'(x).
Para y variável (e considerando as soluções não-triviais), divido por y (se y\equiv0 é solução trivial à parte):
f'(x) = 2\,\operatorname{sen} x.
Integro em x:
f(x) = \int 2\operatorname{sen} x\,dx = -2\cos x + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto todas as funções f que tornam a equação exata são
f(x) = C - 2\cos x\quad(C\\ \text{constante}).

Passo 4

Equação dada:
g(x)\,dy + (y+x)\,dx = 0.
Queremos as g(x) tais que, multiplicando por h(x)=x, a equação fique exata.
Multiplicando por x obtemos
x(y+x)\,dx + x g(x)\,dy = 0.
Agora identifique M(x,y)=x(y+x)=xy+x^{2} e N(x,y)=x g(x). A condição de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Calcule:
M_{y} = x, \qquad N_{x} = \frac{d}{dx}\big(x g(x)\big) = g(x) + x g'(x).
Igualando:
x = g(x) + x g'(x).
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para g. Reescrevo em forma linear:
g'(x) + \frac{1}{x} g(x) = 1.
É linear com fator integrante \mu(x)=e^{\int 1/x\,dx}=x. Multiplicando por x:
\frac{d}{dx}\big(x g(x)\big) = x.
Integro:
x g(x) = \frac{x^{2}}{2} + C \quad\Rightarrow\quad g(x)=\frac{x}{2}+\frac{C}{x},
onde C é constante arbitrária. Portanto todas as funções g possíveis são
g(x)=\frac{x}{2}+\frac{C}{x}.

Passo 5

Escrevendo a equação como forma diferencial:
\big(e^{x}\operatorname{sec} y - \tan y\big)\,dx + 1\cdot dy = 0,
temos M(x,y)=e^{x}\operatorname{sec} y - \tan y e N(x,y)=1. Procura-se fator integrante \mu(x,y)=e^{a x}\cos y.
Queremos \partial(\mu M)/\partial y = \partial(\mu N)/\partial x. Calcule \mu M e \mu N:
Primeiro simplificar \mu M:
\mu M = e^{a x}\cos y\big(e^{x}\operatorname{sec} y - \tan y\big) = e^{a x}e^{x} - e^{a x}\cos y\tan y.
Observação trigonométrica: \cos y\tan y = \sin y. Logo
\mu M = e^{(a+1)x} - e^{a x}\sin y.
E
\mu N = e^{a x}\cos y.
Agora derive:
\frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = -e^{a x}\cos y, \qquad \frac{\partial(\mu N)}{\partial x} = a e^{a x}\cos y.
Igualando:
- e^{a x}\cos y = a e^{a x}\cos y.
Como e^{a x}\cos y não é identicamente zero, cancela-se e obtém-se
-1 = a \quad\Rightarrow\quad a = -1.
Agora com a=-1 temos \mu = e^{-x}\cos y. Multiplicando a equação original por \mu torna-a exata. Vou encontrar a função potencial \Phi tal que \Phi_x = \mu M e \Phi_y = \mu N.
Calculamos \mu M (com a=-1):
\mu M = e^{0\cdot x} - e^{-x}\sin y = 1 - e^{-x}\sin y, \qquad \mu N = e^{-x}\cos y.
Integro \Phi_x = 1 - e^{-x}\sin y em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y) = \int \big(1 - e^{-x}\sin y\big)\,dx = x + e^{-x}\sin y + C(y).
Agora imponho \Phi_y = \mu N:
\Phi_y = e^{-x}\cos y + C'(y) \overset{!}{=} e^{-x}\cos y \Rightarrow C'(y)=0.
Logo C é constante. Assim a solução implícita é
x + e^{-x}\sin y = C,
com C constante arbitrária. Isso resolve o item (c).

Passo 6

Equação:
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = y\big(y^{2}+1\big)\,dx + x\big(y^{2}-1\big)\ln x\,dy = 0.
Procuramos \mu(x,y)=x^{n}y^{m} que torne exata.
Formo \tilde M=\mu M e \tilde N=\mu N. Escrevo explicitamente:
\tilde M = x^{n}y^{m}\cdot y(y^{2}+1) = x^{n}\big(y^{m+3}+y^{m+1}\big),
\tilde N = x^{n}y^{m}\cdot x(y^{2}-1)\ln x = x^{n+1}y^{m}(y^{2}-1)\ln x.
A condição de exatidão é \tilde M_y = \tilde N_x.
Calcule \tilde M_y:
\tilde M_y = x^{n}\big((m+3)y^{m+2} + (m+1)y^{m}\big).
Calcule \tilde N_x. Primeiro derive x^{n+1}\ln x:
\frac{d}{dx}\big(x^{n+1}\ln x\big) = (n+1)x^{n}\ln x + x^{n}.
Portanto
\tilde N_x = y^{m}(y^{2}-1)\big((n+1)x^{n}\ln x + x^{n}\big) = x^{n}y^{m}(y^{2}-1)\big((n+1)\ln x + 1\big).
Agora iguale \tilde M_y=\tilde N_x e cancele x^{n} e y^{m} (exceto nos pontos degenerados):
(m+3)y^{2} + (m+1) = (y^{2}-1)\big((n+1)\ln x + 1\big).
O membro da direita contém \ln x multiplicado por (n+1)(y^{2}-1). Como o lado esquerdo é independente de x, é necessário que o coeficiente de \ln x seja zero para igualdade para todo x. Assim
n+1 = 0 \quad\Rightarrow\quad n=-1.
Com n=-1 a igualdade passa a ser
(m+3)y^{2} + (m+1) = y^{2}-1.
Comparando coeficientes (polinômio em y^{2}):
coef. de y^{2}: m+3 = 1 \Rightarrow m=-2.
coef. constante: m+1 = -1\Rightarrow m=-2, consistente.
Logo o fator integrante é
\mu(x,y)=x^{-1}y^{-2}=\frac{1}{x y^{2}}.
Agora resolvo a equação multiplicando por \mu. Calcule
\tilde M = \frac{1}{x y^{2}}\cdot y(y^{2}+1) = \frac{y^{2}+1}{x y} = \frac{y + y^{-1}}{x},
\tilde N = \frac{1}{x y^{2}}\cdot x(y^{2}-1)\ln x = \big(1 - y^{-2}\big)\ln x.
Procuramos \Phi tal que \Phi_x=\tilde M e \Phi_y=\tilde N.
Integro \Phi_x em x (com y constante):
\Phi(x,y) = \int \frac{y + y^{-1}}{x}\,dx = (y + y^{-1})\ln x + C(y).
Derivando em y:
\Phi_y = \big(1 - y^{-2}\big)\ln x + C'(y).
Devemos ter \Phi_y=\tilde N=\big(1 - y^{-2}\big)\ln x, portanto C'(y)=0. Assim C é constante.
A solução implícita é
(y + y^{-1})\ln x = C \quad\Longleftrightarrow\quad (y^{2}+1)\ln x = C y.
Também note que y\equiv 0 pode ser verificada separadamente como solução especial da equação original (é uma solução constante possível considerando corretamente o domínio), portanto as soluções gerais são a família implícita acima e a solução constante y\equiv 0 quando aplicável.

Passo 7

Defino u = x + y^{2} e procuro \mu=\mu(u). Escrevo M=3x+2y+y^{2} e N=x+4xy+5y^{2}.
A condição de exatidão para \mu(u) usando regra da cadeia é
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
Como \mu=\mu(u) com u_x=1 e u_y=2y, por regra da cadeia temos
\mu'(u)\,u_y\,M + \mu(u)\,M_y = \mu'(u)\,u_x\,N + \mu(u)\,N_x.
Passe os termos com \mu'(u) para um lado:
\mu'(u)\big(2y\,M - N\big) = \mu(u)\big(N_x - M_y\big).
Logo
\frac{\mu'(u)}{\mu(u)} = \frac{N_x - M_y}{2y\,M - N}.
Para que \mu dependa apenas de u, o quociente do lado direito deve depender apenas de u. Vamos calcular numerador e denominador:
Calcule derivadas parciais:
M_y = 2 + 2y, \qquad N_x = 1 + 4y.
Portanto
N_x - M_y = (1+4y) - (2+2y) = -1 + 2y = 2y -1.
Calcule 2y M - N:
2y M - N = 2y(3x+2y+y^{2}) - (x+4xy+5y^{2}).
Expanda e simplifique:
=6xy +4y^{2} +2y^{3} - x -4xy -5y^{2} = 2xy - y^{2} +2y^{3} - x.
Agrupando fator comum (2y-1):
2y M - N = (2y-1)(x + y^{2}) = (2y-1)u.
Então o quociente fica
\frac{N_x - M_y}{2y M - N} = \frac{2y-1}{(2y-1)u} = \frac{1}{u}.
Ótimo: depende somente de u. Assim
\frac{\mu'(u)}{\mu(u)} = \frac{1}{u} \quad\Rightarrow\quad \ln\mu(u) = \ln u + C,
ou seja \mu(u)=C u. Podemos escolher a constante multiplicativa C=1. Logo um fator integrante conveniente é
\mu(x,y)=x + y^{2}.
Agora resolvo a equação multiplicando por \mu. Calcule \tilde M=\mu M:
\tilde M = (x+y^{2})(3x+2y+y^{2}).
Para encontrar a função potencial \Phi faço \Phi_x=\tilde M e integro em x. Expandindo:
\tilde M = 3x^{2} + 2xy + 4xy^{2} + 2y^{3} + y^{4}
(veja desenvolvimento: (x+y^{2})(3x+2y+y^{2}) expandido).
Integro termo a termo em x:
\Phi(x,y) = x^{3} + x^{2}y + 2x^{2}y^{2} + 2x y^{3} + x y^{4} + C(y).
Agora imponho \Phi_y = \tilde N onde \tilde N = \mu N = (x+y^{2})(x+4xy+5y^{2}). Calcule \tilde N expandido:
\tilde N = x^{2} + 4x^{2}y + 6x y^{2} + 4x y^{3} + 5 y^{4}.
Derivando \Phi em y:
\Phi_y = x^{2} + 4x^{2}y + 6x y^{2} + 4x y^{3} + C'(y).
Igualando a \tilde N C'(y)=5y^{4}, logo C(y)=y^{5} (mais constante). Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y) = x^{3} + x^{2}y + 2x^{2}y^{2} + 2x y^{3} + x y^{4} + y^{5}.
A solução implícita geral é então
x^{3} + x^{2}y + 2x^{2}y^{2} + 2x y^{3} + x y^{4} + y^{5} = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

(a) f(x)=C-2\cos x
(b) g(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{C}{x}
(c) a=-1 e a solução implícita é x+e^{-x}\sin y=C
(d) n=-1,\\ m=-2. Solução implícita (y^{2}+1)\ln x = C y e solução constante y\equiv 0
(e) \mu(x+y^{2})=x+y^{2}. Solução implícita x^{3}+x^{2}y+2x^{2}y^{2}+2x y^{3}+x y^{4}+y^{5}=C

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