(a) Determine todas as funções f que tornam exata a equação diferencial \left(y^{2} \operatorname{sen} x\right) d x+y f(x) d y=0.
(b) A equação g(x) d y+(y+x) d x=0 tem h(x)=x como fator integrante. Determine todas as possíveis funções g.
(c) A equação e^{x} \operatorname{sec} y-\operatorname{tg} y+y^{\prime}=0 tem um fator integrante da forma f(x, y)=e^{a x} \cos y. Determine a e resolva a equação.
(d) Determine um fator integrante da forma h(x, y)=x^{n} y^{m} para a equação
y\left(y^{2}+1\right) d x+x\left(y^{2}-1\right) \ln x d y=0
e resolva-a.
(e) Determine um fator integrante da forma \mu=\mu\left(x+y^{2}\right) para a equação
\left(3 x+2 y+y^{2}\right) d x+\left(x+4 x y+5 y^{2}\right) d y=0 .
Mostre que y_{1} é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(a) y^{\prime}=1+x^{2}-2 x y+y^{2}, y_{1}=x
(b) x^{2} y^{\prime}=-1-x y+x^{2} y^{2}, y_{1}=x^{-1}
(c) 2 y^{\prime} \cos x=2 \cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x+y^{2}, y_{1}=\operatorname{sen} x
(d) x^{2} y^{\prime}+y^{2}+x y=3 x^{2}, y_{1}=x
(e) x^{2} y^{\prime}-x^{2} y^{2}+x y+1=0, y_{1}=x^{-1}
(f) y^{\prime}-1-x^{2}+2 x y-y^{2}=0, y_{1}=x
Parte 2 - Aplicações de equações diferenciais de primeira ordem
Decaimento radioativo
O isótopo radioativo tório 234 se desintegra à uma taxa proporcional à sua massa presente. Se 100 mg desta substância se reduzem à 82.04 mg em uma semana, encontre uma expressão para a quantidade deste isótopo em qualquer momento e calcule a meia-vida \tau deste material.
O decaimento do isótopo radioativo plutônio 241 satisfaz à equação diferencial
Q^{\prime}=-0,0525 Q .
(a) Determine a meia-vida desta substância.
(b) Se hoje dispusermos de 50 mg desta substância, quanto restará dela depois de decorridos 10 anos?
3. O elemento einsteinio 253 decai à uma taxa proporcional à sua massa presente. Determine a meia-vida \tau deste material, sabendo que o mesmo perde um terço de sua massa em 11.7 dias.
4. A meia-vida do elemento rádio 226 é de 1620 anos. Determine o tempo necessário para que uma amostra deste elemento tenha sua massa reduzida a 3/4 do original.
5. O carbono-14 é um isótopo radioativo natural do elemento carbono presente em todos os organismos vivos. Enquanto um organismo permanece vivo a relação quantitativa entre o carbono14 e o carbono-12 permanece constante. O químico norte-americano Willard Libbs descobriu nos anos 50 que, a partir da morte de organismo, o carbono-14 se transforma em carbono-12 a uma taxa proporcional à quantidade de carbono-14 existente. O carbono-14 é, dentre os isótopos estáveis do carbono, aquele que possui a maior meia-vida: 5730 anos.
(a) Em 1988, cientistas do Museu Britânico tiveram acesso ao corte de tecido de linho chamado de Santo Sudário e constataram que o tecido conservava ainda 92 \% de sua quantidade original de carbono-14. Determine, a partir destes dados, a data em que o tecido foi confeccionado.*
(b) Em 2008, cientistas ingleses constataram que o material orgânico em torno do Stonehenge, o misterioso monumento erigido no sul da Inglaterra, continha 59 \% de sua quantidade original de carbono-14. Determine uma data provável para a sua construção.
Aplicações financeiras
Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial C_{0}>0 deseja investílo à uma taxa anual de juros de \alpha \% ao ano.
(a) Mostre que se a aplicação tiver rendimento uma única vez ao ano, então o capital C(t) após t anos será dado por C(t)=C_{0}(1+\alpha)^{t}.
(b) Mostre que se a aplicação tiver k composições de rendimento \alpha / k \% por ano, então o capital após t anos será C(t)=C_{0}\left(1+\frac{\alpha}{k}\right)^{k t}. Estude o que ocorre para valores grandes de k.
(c) Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo assim, o capital investido cresce continuamente à razão \alpha em relação ao capital investido. Encontre uma expressão para o capital C(t) após t anos.
(d) Compare as três aplicações descritas acima e decida qual delas é mais rentável.
*O resultado do teste, motivo de intensa controvérsia, é debatido até hoje.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede em cada item e as informações dadas.
(a) Determinar todas as funções \\ f tais que a equação diferencial
Agora começa a resolução efetiva em cada item, com os conceitos necessários explicados ao longo do caminho.
Passo 2
Conceito-chave (para todos os itens): equação diferencial do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se e somente se existir função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x = M e \Phi_y = N. Uma condição prática (em domínio onde M,N têm derivadas contínuas) é
Se essa condição não vale, às vezes podemos multiplicar a equação por um fator integrante \mu(x,y) (não nulo) tal que \mu M\,dx + \mu N\,dy seja exata. Para fatores do tipo \mu(x) usamos a condição
dependendo apenas de x; para \mu(y) análoga condição depende só de y. Para fatores mais gerais (por exemplo \mu=\mu(x+y^2) ou \mu=x^n y^m) usamos a forma geral da condição de exatidão com a regra da cadeia.
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem para g. Reescrevo em forma linear:
g'(x) + \frac{1}{x} g(x) = 1.
É linear com fator integrante \mu(x)=e^{\int 1/x\,dx}=x. Multiplicando por x:
\frac{d}{dx}\big(x g(x)\big) = x.
Integro:
x g(x) = \frac{x^{2}}{2} + C \quad\Rightarrow\quad g(x)=\frac{x}{2}+\frac{C}{x},
onde C é constante arbitrária. Portanto todas as funções g possíveis são
g(x)=\frac{x}{2}+\frac{C}{x}.
Passo 5
Escrevendo a equação como forma diferencial:
\big(e^{x}\operatorname{sec} y - \tan y\big)\,dx + 1\cdot dy = 0,
temos M(x,y)=e^{x}\operatorname{sec} y - \tan y e N(x,y)=1. Procura-se fator integrante \mu(x,y)=e^{a x}\cos y.
Queremos \partial(\mu M)/\partial y = \partial(\mu N)/\partial x. Calcule \mu M e \mu N:
Primeiro simplificar \mu M:
\mu M = e^{a x}\cos y\big(e^{x}\operatorname{sec} y - \tan y\big) = e^{a x}e^{x} - e^{a x}\cos y\tan y.
Observação trigonométrica: \cos y\tan y = \sin y. Logo
\mu M = e^{(a+1)x} - e^{a x}\sin y.
E
\mu N = e^{a x}\cos y.
Agora derive:
\frac{\partial(\mu M)}{\partial y} = -e^{a x}\cos y, \qquad \frac{\partial(\mu N)}{\partial x} = a e^{a x}\cos y.
Igualando:
- e^{a x}\cos y = a e^{a x}\cos y.
Como e^{a x}\cos y não é identicamente zero, cancela-se e obtém-se
-1 = a \quad\Rightarrow\quad a = -1.
Agora com a=-1 temos \mu = e^{-x}\cos y. Multiplicando a equação original por \mu torna-a exata. Vou encontrar a função potencial \Phi tal que \Phi_x = \mu M e \Phi_y = \mu N.
Calculamos \mu M (com a=-1):
\mu M = e^{0\cdot x} - e^{-x}\sin y = 1 - e^{-x}\sin y, \qquad \mu N = e^{-x}\cos y.
Integro \Phi_x = 1 - e^{-x}\sin y em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y) = \int \big(1 - e^{-x}\sin y\big)\,dx = x + e^{-x}\sin y + C(y).
Agora imponho \Phi_y = \mu N:
\Phi_y = e^{-x}\cos y + C'(y) \overset{!}{=} e^{-x}\cos y \Rightarrow C'(y)=0.
Logo C é constante. Assim a solução implícita é
x + e^{-x}\sin y = C,
com C constante arbitrária. Isso resolve o item (c).
\frac{d}{dx}\big(x^{n+1}\ln x\big) = (n+1)x^{n}\ln x + x^{n}.
Portanto
\tilde N_x = y^{m}(y^{2}-1)\big((n+1)x^{n}\ln x + x^{n}\big) = x^{n}y^{m}(y^{2}-1)\big((n+1)\ln x + 1\big).
Agora iguale \tilde M_y=\tilde N_x e cancele x^{n} e y^{m} (exceto nos pontos degenerados):
(m+3)y^{2} + (m+1) = (y^{2}-1)\big((n+1)\ln x + 1\big).
O membro da direita contém \ln x multiplicado por (n+1)(y^{2}-1). Como o lado esquerdo é independente de x, é necessário que o coeficiente de \ln x seja zero para igualdade para todo x. Assim
n+1 = 0 \quad\Rightarrow\quad n=-1.
Com n=-1 a igualdade passa a ser
(m+3)y^{2} + (m+1) = y^{2}-1.
Comparando coeficientes (polinômio em y^{2}):
coef. de y^{2}: m+3 = 1 \Rightarrow m=-2.
coef. constante: m+1 = -1\Rightarrow m=-2, consistente.
Logo o fator integrante é
\mu(x,y)=x^{-1}y^{-2}=\frac{1}{x y^{2}}.
Agora resolvo a equação multiplicando por \mu. Calcule
Devemos ter \Phi_y=\tilde N=\big(1 - y^{-2}\big)\ln x, portanto C'(y)=0. Assim C é constante.
A solução implícita é
(y + y^{-1})\ln x = C \quad\Longleftrightarrow\quad (y^{2}+1)\ln x = C y.
Também note que y\equiv 0 pode ser verificada separadamente como solução especial da equação original (é uma solução constante possível considerando corretamente o domínio), portanto as soluções gerais são a família implícita acima e a solução constante y\equiv 0 quando aplicável.
Passo 7
Defino u = x + y^{2} e procuro \mu=\mu(u). Escrevo M=3x+2y+y^{2} e N=x+4xy+5y^{2}.
A condição de exatidão para \mu(u) usando regra da cadeia é