(4 pontos) Quantos números de 3 dígitos são maiores que 390 e
◯ (a) ( 1.5 ponto) têm todos os dígitos diferentes;
◯ (b) ( 1.5 ponto) nāo têun cígitos iguais a 1,3 ou 5 .
◯ (c) (1 ponto) têm as propriedades a e b simultaneamente.
Passo 1
O enunciado pede que eu conte quantos números de três dígitos são maiores que 390 e que satisfazem condições diferentes em cada item. Vou listar claramente o que é pedido e quais informações o enunciado dá:
Domínio dos números considerados: números de três díitos maiores que 390. Ou seja, todos os inteiros de 391 a 999 inclusive.
Perguntas:
(a) Quantos desses números têm todos os dígitos diferentes?
(b) Quantos desses números não têm nenhum dígito igual a 1, 3 ou 5 (ou seja, dígitos proibidos: 1,3,5)?
(c) Quantos números satisfazem simultaneamente (a) e (b): todos os dígitos diferentes e nenhum dígito igual a 1,3 ou 5.
Informações importantes para a contagem:
Um número de três dígitos tem forma \overline{h t u} (centenas h, dezenas t, unidades u) com h\in\{1,2,\dots,9\}, t\in\{0,\dots,9\}, u\in\{0,\dots,9\}.
A condição >\,390 impõe que:
se h\ge4 então qualquer t,u são permitidos;
se h=3 então o número só pode estar entre 391 e 399, isto é, é necessário t=9 e u\in\{1,\dots,9\}.
Vou usar o Princípio Multiplicativo (contagem por escolha sucessiva) e divisão em casos quando necessário.
Passo 2
Explico a ferramenta básica que vou usar — o Princípio Multiplicativo — de forma bem direta e com exemplos pequenos: se para formar um objeto eu tenho a escolhas independentes para a primeira posição e, depois de escolhida a primeira, tenho b escolhas para a segunda posição, então o número total de objetos formados é a\cdot b. Para três posições independentes dá a\cdot b\cdot c. Exemplo rápido: números de três dígitos com h\in\{4,5\} (duas opções), t\in\{0,1,2\} (três opções) e u\in\{0,1\} (duas opções) seriam 2\cdot 3\cdot 2=12 números. Vou aplicar isso com cuidado, levando em conta proibições e condições (como dígitos distintos).
Passo 3
Resolver (a): contar números >390 com todos os dígitos diferentes.
Divido em casos conforme a centena h.
Caso A1: h=3. Como o número deve ser >\,390, precisamos de t=9 e u\in\{1,\dots,9\}. Agora impomos que os três dígitos sejam distintos. Temos h=3 e t=9 fixos, então u pode ser qualquer dígito em \{1,\dots,9\} exceto os dígitos 3 e 9. Portanto o número de escolhas para u é
Interpretação e checagem rápida do (a) para ficar tranquilo: o total de números >\,390 é 999-390=609. Dos quais 439 têm todos os dígitos distintos; o número parece razoável (nem quase tudo nem quase nada). Os cálculos foram feitos com contagem direta por casos e aplicação do princípio multiplicativo, então está consistente.
Passo 5
Resolver (b): contar números >390 que não têm dígitos iguais a 1,3 ou 5 (ou seja, cada dígito pertence ao conjunto permitido D=\{0,2,4,6,7,8,9\} exceto que o dígito das centenas não pode ser 0).
Primeiro observe que a centena h não pode ser 3 (pois 3 está proibido). Assim não há números com h=3 a considerar. Para que o número seja >\,390 com h\neq3 basta ter h\ge4. Logo h pode ser qualquer elemento de
\{4,6,7,8,9\},
pois 5 também é proibido. Isso dá 5 opções para h.
Para h\ge4 não há restrição extra vinda do >\,390 (qualquer t,u são permitidos), mas tens e unidades também não podem ser 1,3,5. O conjunto permitido para t e u é D=\{0,2,4,6,7,8,9\}, que tem \#D=7 elementos. Assim:
h tem 5 escolhas;
t tem 7 escolhas;
u tem 7 escolhas.
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo,
\#\text{(b)} = 5\cdot 7\cdot 7 = 245.
Passo 6
Resolver (c): contar números >390 que satisfazem simultaneamente (a) todos os dígitos diferentes, e (b) nenhum dígito igual a 1,3 ou 5.
Como em (b), a centena não pode ser 3 (nem 1 nem 5), então h\in\{4,6,7,8,9\}: são 5 possibilidades para h.
Depois de escolher h (que não é 1,3,5), as dezenas t só podem ser escolhidas entre os dígitos permitidos D=\{0,2,4,6,7,8,9\} excluindo também o h (porque os dígitos devem ser todos diferentes). Assim o número de escolhas para t é
\#t = \#D - 1 = 7-1=6.
Depois de fixar h e t, a unidade u pode ser qualquer dígito em D que não seja h nem t, logo
\#u = \#D - 2 = 7-2=5.
Pelo Princípio Multiplicativo, para cada escolha de h há 6\cdot 5 números, e com as 5 opções de h obtemos