Responda:
Determine o valor de
, se
e
.
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá duas igualdades envolvendo coeficientes binomiais e pede um terceiro coeficiente binomial. Dados fornecidos:
-
. -
.
O que se pergunta:
- Determinar o valor de
.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um coeficiente binomial e o significado das suas variáveis. A definição algébrica é
onde:
-
é o fatorial de (produto ), -
é um inteiro com , -
conta, por exemplo, o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos sem ordem.
Exemplo rápido:
.
Passo 3
Existe uma identidade muito útil (regra de Pascal) que relaciona coeficientes binomiais de linhas consecutivas:
Explicação combinatória curta e intuitiva: para escolher
elementos de um conjunto com
elementos, fixe um elemento especial. As escolhas de
que incluem esse elemento correspondem a escolher
dos outros
elementos (isto é
), e as escolhas que não incluem o elemento especial correspondem a escolher
dos
restantes (isto é
). Somando os casos obtem-se a identidade acima.
Passo 4
Agora aplico diretamente a identidade com os valores dados:
Portanto o valor pedido é
.
Passo 5
Como verificação extra (útil para a prova): quando
temos
logo
. Substituindo
obtém-se
e
, e então
, confirmando o cálculo anterior. Isso mostra como identificar
e
se precisar.