Responda:
Determine o valor de \binom{n+1}{k+1}, se \binom{n}{k}=35 e \binom{n}{k+1}=35.

Passo 1

O enunciado dá duas igualdades envolvendo coeficientes binomiais e pede um terceiro coeficiente binomial. Dados fornecidos:
  • \binom{n}{k}=35.
  • \binom{n}{k+1}=35.
O que se pergunta:
  • Determinar o valor de \binom{n+1}{k+1}.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um coeficiente binomial e o significado das suas variáveis. A definição algébrica é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde:
  • n! é o fatorial de n (produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1),
  • k é um inteiro com 0\le k\le n,
  • \binom{n}{k} conta, por exemplo, o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto com n elementos sem ordem.
Exemplo rápido: \binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!3!}=10.

Passo 3

Existe uma identidade muito útil (regra de Pascal) que relaciona coeficientes binomiais de linhas consecutivas:
\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}.
Explicação combinatória curta e intuitiva: para escolher k+1 elementos de um conjunto com n+1 elementos, fixe um elemento especial. As escolhas de k+1 que incluem esse elemento correspondem a escolher k dos outros n elementos (isto é \binom{n}{k}), e as escolhas que não incluem o elemento especial correspondem a escolher k+1 dos n restantes (isto é \binom{n}{k+1}). Somando os casos obtem-se a identidade acima.

Passo 4

Agora aplico diretamente a identidade com os valores dados:
\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=35+35=70.
Portanto o valor pedido é 70.

Passo 5

Como verificação extra (útil para a prova): quando \binom{n}{k}=\binom{n}{k+1} temos
\frac{\binom{n}{k+1}}{\binom{n}{k}}=\frac{n-k}{k+1}=1,
logo n=2k+1. Substituindo k=3 obtém-se n=7 e \binom{7}{3}=\binom{7}{4}=35, e então \binom{8}{4}=70, confirmando o cálculo anterior. Isso mostra como identificar n e k se precisar.

Resposta

70

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