(4 pontos) A Mega-Sena é uma loteria em que o jogador escolhe 6 números diferentes dentre os números de 1 a 60.
(a) (2 ponto) Quantas combinações diferentes de jogos de 6 números podem ser feitas?
(b) (2 ponto) Sabendo que cada jogo custa RS 5,00 , quanto uma pessoa gastaria se quisesse apostar em todas as combinações possíveis?
(a) (2 ponto) Quantas combinações diferentes de jogos de 6 números podem ser feitas?
(b) (2 ponto) Sabendo que cada jogo custa RS 5,00 , quanto uma pessoa gastaria se quisesse apostar em todas as combinações possíveis?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Quantas combinações diferentes de 6 números (sem ordem) podem ser escolhidas dentre os números de
a . - (b) Sabendo que cada jogo custa
, quanto custaria apostar em todas as combinações possíveis.
Informações relevantes fornecidas:
- Há
números disponíveis. - Cada jogo é uma escolha de
números distintos (a ordem não importa). - Preço por jogo:
.
Passo 2
Conceito que vamos usar: combinação (escolha sem ordem).
- Quando escolhemos
elementos dentre sem considerar a ordem, o número de maneiras é o coeficiente binomial
onde
(lê-se ``
fatorial’’) é o produto
Aqui,
e
. A interpretação:
conta quantos conjuntos diferentes de 6 números podem ser formados a partir de 60 números, sem repetir e sem considerar ordem.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao problema:
Para calcular sem escrever
inteiro, usamos a simplificação por cancelamento:
E como
, temos que dividir esse produto por
.
Passo 4
Para evitar multiplicações gigantes e fazer na mão, simplificamos passo a passo dividindo fatores do numerador pelos fatores de
:
- Dividir por
: . - Dividir por
: . - Dividir por
: . - Dividir por
: . - Dividir por
: .
Agora o denominador chegou a, e o numerador ficou:
Passo 5
Vamos multiplicar em etapas, explicando cada conta:
Portanto
Passo 6
Agora a parte (b): cada jogo custa
. O custo para jogar todas as combinações é
Em reais, acrescentando os centavos, isso é
Resposta
(a)
(b)