(4 pontos) A Mega-Sena é uma loteria em que o jogador escolhe 6 números diferentes dentre os números de 1 a 60.
(a) (2 ponto) Quantas combinações diferentes de jogos de 6 números podem ser feitas?
(b) (2 ponto) Sabendo que cada jogo custa RS 5,00 , quanto uma pessoa gastaria se quisesse apostar em todas as combinações possíveis?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Quantas combinações diferentes de 6 números (sem ordem) podem ser escolhidas dentre os números de 1 a 60.
  • (b) Sabendo que cada jogo custa \text{R\$ }5{,}00, quanto custaria apostar em todas as combinações possíveis.
Informações relevantes fornecidas:
  • 60 números disponíveis.
  • Cada jogo é uma escolha de 6 números distintos (a ordem não importa).
  • Preço por jogo: \text{R\$ }5{,}00.

Passo 2

Conceito que vamos usar: combinação (escolha sem ordem).
  • Quando escolhemos k elementos dentre n sem considerar a ordem, o número de maneiras é o coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se `` n fatorial’’) é o produto
n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Aqui, n=60 e k=6. A interpretação: \binom{60}{6} conta quantos conjuntos diferentes de 6 números podem ser formados a partir de 60 números, sem repetir e sem considerar ordem.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema:
\binom{60}{6}=\frac{60!}{6!\,54!}.
Para calcular sem escrever 60! inteiro, usamos a simplificação por cancelamento:
\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6!}.
E como 6!=720, temos que dividir esse produto por 720.

Passo 4

Para evitar multiplicações gigantes e fazer na mão, simplificamos passo a passo dividindo fatores do numerador pelos fatores de 6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1:
  • Dividir por 6: 60/6=10.
  • Dividir por 5: 55/5=11.
  • Dividir por 4: 56/4=14.
  • Dividir por 3: 57/3=19.
  • Dividir por 2: 58/2=29.
    Agora o denominador chegou a 1, e o numerador ficou:
10\cdot59\cdot29\cdot19\cdot14\cdot11.

Passo 5

Vamos multiplicar em etapas, explicando cada conta:
10\cdot59=590.
590\cdot29=590\cdot(30-1)=17\,700-590=17\,110.
17\,110\cdot19=17\,110\cdot(20-1)=342\,200-17\,110=325\,090.
325\,090\cdot14=325\,090\cdot(10+4)=3\,250\,900+1\,300\,360=4\,551\,260.
4\,551\,260\cdot11=4\,551\,260\cdot(10+1)=45\,512\,600+4\,551\,260=50\,063\,860.
Portanto
\binom{60}{6}=50\,063\,860.

Passo 6

Agora a parte (b): cada jogo custa \text{R\$ }5{,}00. O custo para jogar todas as combinações é
5\times 50\,063\,860=250\,319\,300.
Em reais, acrescentando os centavos, isso é
\text{R\$ }250\,319\,300{,}00.

Resposta

(a) \displaystyle \binom{60}{6}=50\,063\,860
(b) \displaystyle \text{R\$ }250\,319\,300{,}00

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