(5 pontos) Responda:
(a) (2.5 pontos) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 2 Q questões de múltipla escolla con 5 alternativas por questāo?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos são os gabaritos possíveis de um teste com 2Q questões, sendo que cada questão é de múltipla escolha com 5 alternativas.
Informações dadas:
  • Número de questões: 2Q.
  • Número de alternativas por questão: 5.
    O que se pede: o número total de gabaritos possíveis (cada gabarito é uma sequência de respostas, uma escolha por questão).

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicado devagar): quando temos escolhas independentes, o número total de combinações é o produto do número de opções de cada escolha. Isso é o famoso princípio multiplicativo. Exemplo simples: se há 2 camisas e 3 calças, combinações de roupa = 2\times3=6.
Aplicando ao nosso teste: para a primeira questão há 5 opções, para a segunda há 5 opções, e assim por diante — cada questão é uma escolha independente com 5 alternativas. Para duas questões o total já seria
5\times5=5^2=25.
Para três questões seria
5\times5\times5=5^3=125.
Em geral, se há k questões, cada uma com 5 alternativas, o número de gabaritos possíveis é
5^k,
porque multiplicamos 5 por si mesmo k vezes.

Passo 3

No problema k = 2Q. Substituindo:
\text{nº de gabaritos} = 5^{2Q}.º
Podemos também reescrever essa potência usando a propriedade a^{bc}=(a^b)^c. Assim
5^{2Q} = (5^2)^Q = 25^{Q},
o que às vezes é uma forma mais compacta de ver o resultado.

Passo 4

Para ficar com a intuição: se Q=1 (ou seja 2Q=2 questões), então há 5^{2}=25 gabaritos; se Q=2 (ou seja 2Q=4 questões), há 5^{4}=625 gabaritos. Vai crescendo rápido porque é exponencial — cada nova questão multiplica por 5.

Resposta

5^{2Q}=25^{Q}

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