(2,5 pontos) O raio e a largura de um cilindro circular reto foram medidos como 30 cm e 24 cm , respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1 cm. Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cilindro.

Passo 1

O exercício pede para estimar o erro máximo no volume de um cilindro, usando diferenciais. Temos raio medido como r=30 cm e altura (largura) como h=24 cm, cada uma com erro máximo de 0,1 cm. Vamos usar o modelo de volume de cilindro e a teoria de diferenciais para aproximar esse erro.

Passo 2

O volume do cilindro é dado por
V(r,h)=pi r^2 h
Precisamos das derivadas parciais para aplicar a diferencial:
partial Vpartial r=2pi r h,
partial Vpartial h=pi r^2

Passo 3

Pela teoria de diferenciais, a variação aproximada do volume é
dV=partial Vpartial r,dr+partial Vpartial h,dh =2pi r h,dr+pi r^2,dh
Como o erro em r e em h é no máximo 0,1 cm, o erro máximo em módulo ocorre tomando dr=dh=0,1 cm.

Passo 4

Substituindo r=30, h=24 e dr=dh=0,1:
dV=2picdot30cdot24cdot0,1+picdot30^2cdot0,1 =picdot0,1l(2cdot30cdot24+30^2r) =234pi,
Numericamente, isso dá aproximadamente 234piapprox735 cm³.

Resposta

Erro máximo aproximado no volume: 234piapprox735,cm^3.

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