2 Pontos Realize operações algébricas e trigonométricas com as funções do integrando, em seguida, calcule sua integral indefinida geral:
\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\displaystyle \int\bigl(\sqrt{x}+\tfrac{1}{\sqrt{x}}\bigr)^{2}dx.
Para resolver, vamos usar a expansão do quadrado de uma soma e depois aplicar a regra de potência
\displaystyle \int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1) e a integral de x^{-1}, que é \ln|x|.

Passo 2

Expandimos o integrando usando (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}:
\bigl(\sqrt{x}+\tfrac{1}{\sqrt{x}}\bigr)^{2} = \bigl(x^{1/2}+x^{-1/2}\bigr)^{2} = x^{1}+2\,x^{0}+x^{-1} = x+2+x^{-1}.

Passo 3

Reescrevemos a integral como soma de termos mais simples:
\int (x+2+x^{-1})\,dx = \int x\,dx \;+\; 2\int 1\,dx \;+\; \int x^{-1}\,dx.

Passo 4

Aplicando as regras de integração em cada parcela:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \quad 2\int 1\,dx = 2x, \quad \int x^{-1}\,dx = \ln|x|.
Somando e adicionando a constante de integração C, chega-mos a
\frac{x^{2}}{2} + 2x + \ln|x| + C.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} + 2x + \ln|x| + C.

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