2 Pontos Encontre a antideriva da f(t), quando:
\left\{\begin{array}{l}f^{\prime \prime}(t)=\frac{1}{t^{2}} \\\ f(1)=0 \\\ f(2)=0 \\\ \text { sendo: } t>0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f tal que
f''(t)=\frac{1}{t^{2}},\quad t>0,
e satisfazendo as condições de contorno f(1)=0 e f(2)=0.
O conteúdo aqui é integração sucessiva (antiderivação) e ajuste de constantes de integração.

Passo 2

Integramos f''(t) para obter f'(t).
f'(t)=\int \frac{1}{t^{2}}\,dt =\int t^{-2}\,dt =-t^{-1}+C_{1} =-\frac{1}{t}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.

Passo 3

Agora integramos f'(t) para obter f(t).
f(t)=\int\Bigl(-\frac{1}{t}+C_{1}\Bigr)\,dt =-\int \frac{1}{t}\,dt+C_{1}\int 1\,dt =-\ln t + C_{1}\,t + C_{2},
onde C_{2} é uma segunda constante de integração.

Passo 4

Usamos as condições f(1)=0 e f(2)=0 para determinar C_{1} e C_{2}.
Para t=1:
f(1)=-\ln 1 + C_{1}\cdot1 + C_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 0 + C_{1}+C_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=-C_{1}.
Para t=2:
f(2)=-\ln 2 + C_{1}\cdot2 + C_{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad -\ln 2 +2C_{1}+(-C_{1})=0 \quad\Longrightarrow\quad -\ln 2 +C_{1}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=\ln 2,
e portanto C_{2}=-\ln 2.

Passo 5

Substituindo C_{1}=\ln 2 e C_{2}=-\ln 2 em f(t)=-\ln t + C_{1}t + C_{2}, obtemos
f(t)=-\ln t +(\ln 2)\,t -\ln 2.

Resposta

f(t)=-\ln t + (\ln 2)\,t - \ln 2.

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