Se \sum a_{n} é convergente e a_{n} \geq 0 para todo n \in \mathbb{N} então a série \sum a_{n} x^{n} è absolutamente convergente para todo x \in[-1,1] e
\sum a_{n} \cdot \operatorname{sen}(n x), \sum a_{n} \cdot \cos (n x)

Passo 1

O enunciado afirma que \sum a_{n} converge com a_{n}\ge0 e diz que então a série \sum a_{n}x^{n} é absolutamente convergente em [-1,1] e menciona também as séries \sum a_{n}\sin(nx) e \sum a_{n}\cos(nx). Contudo, não está claro o que se pede: convergência pontual, convergência uniforme, soma, continuidade, derivabilidade etc. Sem especificar o objetivo, não há como avançar na resolução.

Resposta

Não é possível resolver pois o enunciado está incompleto: falta especificar qual propriedade das séries deve ser demonstrada.

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