2 Pontos Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, resolva as integrais definidas:
\int_{1 / 2}^{\sqrt{3} / 2}\left(\frac{6}{\sqrt{1-t^{2}}}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \frac{6}{\sqrt{1 - t^{2}}}\,dt
usando o Teorema Fundamental do Cálculo, ou seja, encontrando uma antiderivada de f(t)=6/\sqrt{1-t^{2}} e avaliando-a nos limites t=1/2 e t=\sqrt{3}/2.

Passo 2

Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl(\arcsin(t)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}},
então uma antiderivada de f(t) é dada por
F(t)=6\,\arcsin(t).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \frac{6}{\sqrt{1 - t^{2}}}\,dt =F\bigl(\sqrt{3}/2\bigr)-F\bigl(1/2\bigr) =6\bigl[\arcsin(\sqrt{3}/2)-\arcsin(1/2)\bigr].

Passo 4

Calculando os arcos-senos conhecidos:
\arcsin(1/2)=\frac{\pi}{6}, \quad \arcsin(\sqrt{3}/2)=\frac{\pi}{3}.
Logo,
6\Bigl(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\Bigr) =6\cdot\frac{\pi}{6} =\pi.

Resposta

\pi

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