(2 pontos) Um recipiente contendo hélio (gás monoatômico de massa molar 4 g mol^-1 ) a uma pressão de 2 atm e temperatura de 327^circ C é conectado ao meio externo, que se encontra sob pressão de 1 atm , mediante um tubo estreito de diâmetro 0,80 mm e 50 cm de comprimento. Supondo que o recipiente é grande o suficiente a ponto de a sua pressão interna se manter constante, calcule a vazão molar do gás que sai, considerando que o diâmetro de colisão do hélio é de 0,21 nm.

Passo 1

O enunciado dá um recipiente de hélio monoatômico (massa molar M=4,0times10^-3,kg,mol^-1) a pressão interna P1=2,atm e temperatura T=327^circC=600,K. Ele se comunica com o exterior ( P2=1,atm) através de um tubo de diâmetro D=0,80,mm e comprimento L=0,50,m. Queremos a vazão molar dot n em regime permanente, assumindo o recipiente suficientemente grande para manter P1 constante.
Conteúdo: determinar o regime de escoamento (molecular vs. viscoso contínuo), aplicar a equação de Poiseuille compressível isoterma para gás e usar propriedades do hélio (viscosidade e constante universal dos gases).

Passo 2

Verificamos o regime de escoamento calculando o comprimento livre médio lambda no tubo e comparando com o diâmetro.
A pressão média é aproximadamente
bar P=P1+P22 = 2+12,atm = 1,5times1,013times10^5,Pa=1,52times10^5,Pa
O diâmetro de colisão do hélio é d=0,21,nm=2,1times10^-10,m. Usando
lambda=kB,Traiz2,pi,d^2,bar P,
com kB=1,38times10^-23,J/K,
lambdaapprox1,38times10^-23times6001,414timespitimes(2,1times10^-10)^2times1,52times10^5 approx2,8times10^-7,mapprox0,28,mum
Como lambdall D=0,80,mm, o escoamento é viscoso contínuo, e podemos usar Poiseuille compressível.

Passo 3

Para escoamento isotérmico e viscoso de gás ideal em tubo cilíndrico, parte-se de
dpdx=-8mu,Qv(x)pi R^4,
onde Qv(x)=dotm/rho é a vazão volumétrica local, R=D/2. Com rho=p,M/(RuT) e dotm constante, obtém-se após separar variáveis e integrar de x=0 a L:
P1^2-P2^22 =8,mu,Ru,Tpi R^4,M,dotm,L longrightarrow dotm =pi R^4,M,(P1^2-P2^2)16,mu,Ru,T,L
Como dotn=dotm/M, a vazão molar é
dotn =pi R^4,(P1^2-P2^2)16,mu,Ru,T,L

Passo 4

Precisamos da viscosidade dinâmica mu do hélio em T=600,K. Tomando o valor de referência mu0approx1,96times10^-5,Pacdot s a T0=273,K e assumindo mupropto T^0,7:
mu=mu0l(TT0r)^0,7 approx1,96times10^-5timesl(600273r)^0,7 approx3,4times10^-5,Pacdot s

Passo 5

Agora substituímos na fórmula:
R=D2=0,40,mm=4,0times10^-4,m, Ru=8,314,J/(mol,K),
P1=2times1,013times10^5,Pa, P2=1times1,013times10^5,Pa, L=0,50,m
Calculemos P1^2-P2^2=(2,P0)^2-(1,P0)^2=(2,026times10^5)^2-(1,013times10^5)^2approx3,08times10^10,Pa^2
Então
dot n =pi,(4,0times10^-4)^4times3,08times10^10 16times3,4times10^-5times8,314times600times0,50 approx1,8times10^-3,mol/s

Resposta

A vazão molar do hélio que escapa é aproximadamente
boxeddot napprox1,8times10^-3,mol/s

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