(2,0 pontos) A região delimitada pelas curvas y=3 x e y=3 x^2 é rotacionada em torno do eixo x. Determine seu volume.

BOA PROVA!!!

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y=3x e y=3x^2. Vamos usar o método dos discos (ou anéis), que exige encontrar as intersecções das curvas, decidir qual é o disco externo e qual é o interno, e aplicar a fórmula
V = pi integrala^b l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos
3x = 3x^2
que implica
3x(1 - x) = 0
Logo, as intersecções ocorrem em x=0 e em x=1.

Passo 3

No intervalo [0,1], temos para cada x
3x >= 3x^2
Logo o raio externo é
R(x) = 3x
e o raio interno é
r(x) = 3x^2

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume, obtemos
V = pi integral0^1 l[(3x)^2 - (3x^2)^2r],dx

Passo 5

Calculando o integrando:
(3x)^2 = 9x^2, (3x^2)^2 = 9x^4,
então
V = pi integral0^1 l(9x^2 - 9x^4r),dx = 9pi integral0^1 l(x^2 - x^4r),dx
Integrando, vem
9pi l[x^33 - x^55r]0^1 = 9pi l(13 - 15r) = 9pi cdot 215 = 6pi5

Resposta

O volume do sólido é 6pi5.

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