(2,0 pontos) A região delimitada pelas curvas
e
é rotacionada em torno do eixo
. Determine seu volume.
BOA PROVA!!!
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
e
. Vamos usar o método dos discos (ou anéis), que exige encontrar as intersecções das curvas, decidir qual é o disco externo e qual é o interno, e aplicar a fórmula
Passo 2
Para achar os limites de integração, igualamos
que implica
Logo, as intersecções ocorrem em
e em
.
Passo 3
No intervalo
, temos para cada
Logo o raio externo é
e o raio interno é
Passo 4
Substituindo na fórmula do volume, obtemos
Passo 5
Calculando o integrando:
então
Integrando, vem
Resposta
O volume do sólido é
.