Resolva as equações:
ly^prime-1x y=-x

Passo 1

Então, resumindo: a questão pede pra resolver a equação diferencial linear de primeira ordem y'=1xy - x, ou escrevendo do jeito padrão fica y'-1xy=-x. O conteúdo aqui é o método do fator integrante.

Passo 2

A primeira coisa é identificar a forma y'+p(x)y=q(x). Comparando, vemos que p(x)=-tfrac1x e q(x)=-x.

Passo 3

Agora a teoria diz que o fator integrante é mu(x)=e^integral p(x),dx. Então calculamos:

Passo 4

mu(x)=e^integral -tfrac1x,dx=e^-ln|x|=1|x|
Pra simplificar, assumimos x>0, ficando mu(x)=1/x.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por mu(x)=1/x. A gente obtém:
1xy' - 1x^2y = -1
Pela teoria, o lado esquerdo é exatamente
ddxl(yxr) = 1xy' - 1x^2y

Passo 6

Portanto a equação vira
ddxl(yxr) = -1
Agora é só integrar dos dois lados:

Passo 7

Integrando, obtemos
yx = integral -1,dx = -x + C,
onde C é a constante de integração. A partir disso, isolando y, a gente encontra a solução geral.

Resposta

y(x) = -x^2 + Cx

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