( 6,0 pontos) Um reservatório de seção retangular de
possui um orificio retangular de parede fina de comprimento
e altura
, situado na cota 10,00 . Inicialmente, com uma vazão de alimentação Qe constante, o nível d’água no reservatório mantém-se constante na cota 14.5 m. Nestas condições determine:
a) A vazão Qe;
b) Interrompendo-se bruscamente a alimentação
, no instante
, determine o tempo necessário para o esvaziamento total do reservatório:
c) O tempo necessário para o nível d’água no reservatório baixar
.
a) A vazão Qe;
b) Interrompendo-se bruscamente a alimentação
c) O tempo necessário para o nível d’água no reservatório baixar
Passo 1
Vamos decodificar o enunciado e listar tudo que temos e o que nos pedem, com calma (respira que a gente chega lá).
Dados fornecidos:
- Seção retangular do reservatório:
. Portanto a área da superfície horizontal do líquido é
- Orifício retangular de parede fina: comprimento (largura)
e altura . Logo a área do orifício é
- O orifício está “situado na cota
”. Vou usar a interpretação padrão: a aresta inferior do orifício está em e, portanto, a aresta superior está em . O centro do orifício (baricentros vertical) fica em
- Nível de água, em regime com alimentação constante
, é mantido em cota inicial
- Gravidade
(usarei esse valor). - O enunciado não fornece coeficiente de descarga
. Seguirei a convenção usual para orifício de borda fina: . Vou deixar isso explícito e justificar quando usar a fórmula de orifício.
O que o enunciado pede:
a) Determinar a vazão de alimentação que mantém o nível constante em
.
b) Ao cortar bruscamente em
, determinar o tempo necessário para o esvaziamento total do reservatório.
c) Determinar o tempo necessário para o nível baixar (ou seja, ir de
para
).
a) Determinar a vazão de alimentação
b) Ao cortar bruscamente
c) Determinar o tempo necessário para o nível baixar
Observação sobre interpretação: em muitos problemas reais a descarga nunca chega a zero em tempo finito quando a superfície se aproxima da borda inferior do orifício; vou mostrar isso matematicamente no item (b) e explicar. Não vou pedir informação adicional — passo pra conta com essas hipóteses explícitas.
Passo 2
Fórmula da vazão por orifício de parede fina e explicação didática — a receita que a prova costuma usar.
Conceito-chave (Torricelli + coeficiente de descarga): para um orifício fino e totalmente submerso a velocidade teórica de saída na profundidade
abaixo da superfície é dada por Torricelli:
onde
é a diferença de cota entre a superfície livre e o ponto onde se avalia a velocidade. Na prática, por efeitos de contração e perda, usa-se um coeficiente de descarga
e obtém-se a vazão
Aqui:
-
é a vazão (m^3/s), -
é o coeficiente de descarga (adoto ), -
é a área do orifício (m^2), -
é a gravidade (m/s^2), -
é a cabeça útil (m) medida até o ponto apropriado do orifício.
Para um orifício vertical de pequena altura é comum aproximar a contribuição da pressão por um ponto médio (o centro do orifício). Assim tomamos
onde
é a cota do centro do orifício.
Agora aplicamos para o regime estacionário pedido em (a).
Cálculos:
- Área do orifício: já temos
. - Cota do centro:
. - Head do centro:
- Calcule
:
- Vazão (regime estacionário,
):
Interpretação curta: essa é a vazão de alimentação constante que equilibra a descarga pelo orifício quando o nível está em
.
Passo 3
Equação de escoamento não estacionário (montando a ODE) — vou ensinar como transformar o enunciado em uma equação diferencial que a gente integra para achar tempos.
Volume do líquido no reservatório, supondo seção vertical constante, é
onde
e
é a cota do nível de água no tempo
.
Balanço de massa (quando
for cortado, isto é,
) dá
Como
temos
Agora precisamos da expressão correta de
para o orifício vertical de altura finita. Explico duas situações (úteis para a prova):
- Orifício totalmente submerso (quando
, isto é, a superfície está acima da borda superior do orifício). A vazão total integrando a contribuição ao longo da altura do orifício é
onde
é a cota da borda inferior do orifício e
a da borda superior. Essa fórmula vem de integrar
(mostrei isso na dedução).
- Quando a superfície está entre as bordas (parcialmente submerso), ou seja
, a vazão passa a ser (apenas a parte submersa contribui)
Nota didática importante (que responde parte do item b): quando
(a superfície se aproxima da borda inferior), nesse segundo caso
. Ao integrar a ODE para determinar o tempo até
aparece uma integral do tipo
que diverge no limite
. Isso significa que o tempo para atingir exatamente
é infinito. Em palavras mais simples: o escoamento fica cada vez mais fraco quando o nível se aproxima da borda inferior e nunca atinge exatamente zero em tempo finito. Portanto o esvaziamento “total” (até o nível atingir a borda inferior) exige tempo infinito. Vou demonstrar isso com as equações no próximo passo.
Passo 4
Mostrando matematicamente por que o esvaziamento total leva tempo infinito (resolvendo a ODE no regime parcialmente submerso).
Quando
temos
Defina
(distância do nível até a borda inferior). Então
e a equação fica
Separamos variáveis:
A primitiva do lado esquerdo é
. Ao tentar levar
até
(que corresponde a
) obtemos no lado esquerdo um termo
que tende a
. Isso implica que o tempo
para atingir
deve tender a
. Conclusão clara e crucial:
- Não existe tempo finito para que o nível alcance exatamente
. O esvaziamento total (até a borda inferior do orifício) exige tempo infinito.
Por isso, para (b) a resposta é: tempo infinito. (Isso é um resultado físico clássico: escoamentos que caem a zero segundo uma lei de potência muitas vezes exigem tempo infinito para atingir zero).
Passo 5
Cálculo numérico do item (c): tempo para o nível cair
(de
para
). Observação: nesse intervalo o nível está sempre acima de
, logo o orifício permanece totalmente submerso nesta variação e podemos usar a fórmula exata de
para orifício totalmente submerso. No entanto, para simplificar (e porque a altura do orifício é pequena frente às cabeças envolvidas) usaremos a aproximação prática muito usada na prova: tratar a vazão como se fosse dada pela velocidade equivalente no centro do orifício,
Essa aproximação é muito boa quando a altura do orifício é pequena comparada à cabeça, e já usamos a mesma ideia no item (a).
Montando a ODE com essa aproximação:
Separe variáveis:
Integre de
até
. A primitiva de
em
é
. Assim obtemos
ou rearranjando para
,
Agora substituímos números (vou mostrar passo a passo para você poder reproduzir na prova):
- Parâmetros numéricos:
- Constante
. - Calcule os radicais:
- Agora o fator multiplicativo:
Calcule o denominador:
. Logo o fator é
- Diferença dos radicais:
- Tempo:
Interpretação: cerca de
para baixar
. Dá menos de um minuto e meio — rápido, porque o orifício é razoavelmente grande.
Resposta
(a)
(b) O esvaziamento total (atingir exatamente a borda inferior do orifício) exige tempo infinito.
(c) Tempo para o nível cair :
(b) O esvaziamento total (atingir exatamente a borda inferior do orifício) exige tempo infinito.
(c) Tempo para o nível cair