Em um vertedor retangular de parede delgada, com 2,5 \mathrm{~m} de crista, obtém-se a vazão de 724 \mathrm{~L}_{. \mathrm{s}}{ }^{-1}, sobre a carga de 30 cm . Calcular o valor do coeficiente de descarga.

Passo 1

O enunciado dá um vertedor retangular de parede delgada com crista de 2{,}5\\ \mathrm{m}, vazão medida 724\\ \mathrm{L\cdot s^{-1}} e carga sobre a crista 30\\ \mathrm{cm}. A pergunta é: calcular o coeficiente de descarga C_d desse vertedor.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{comprimento da crista: } b = 2{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &\text{vazão: } Q = 724\\ \mathrm{L\cdot s^{-1}},\\\ &\text{carga sobre a crista: } H = 30\\ \mathrm{cm}. \end{aligned}ã
O que precisamos devolver: o valor numérico de C_d (adimensional).

Passo 2

Escolha do método e a fórmula que relaciona Q e C_d.
Para um vertedor retangular de parede delgada (crestas finas, escoamento livre) a vazão teórica sem perdas é obtida integrando a velocidade de descarga ao longo da altura da lâmina. A velocidade em um nível y acima da crista, pela fórmula de Torricelli, é
v(y)=\sqrt{2gy},
onde g é a aceleração da gravidade. A pequena descarga através de uma faixa horizontal de espessura dy é dQ = b\,v(y)\,dy. Integrando de y=0 até y=H obtemos a vazão teórica
Q_{\text{teo}} = b\sqrt{2g}\int_{0}^{H} y^{1/2}\,dy = b\sqrt{2g}\cdot\frac{2}{3}H^{3/2}.
Como na prática há perdas (contracção, viscosidade, etc.), introduzimos o coeficiente de descarga C_d tal que
Q = C_d\,Q_{\text{teo}} = C_d\cdot\frac{2}{3}\,b\sqrt{2g}\,H^{3/2}.
Nossa incógnita C_d aparece isolada como
C_d=\dfrac{Q}{\dfrac{2}{3}\,b\sqrt{2g}\,H^{3/2}}.

Passo 3

Conversão de unidades e valores numéricos a usar.
Converto a vazão de litros por segundo para metros cúbicos por segundo e a carga para metros:
Q = 724\\ \mathrm{L\cdot s^{-1}} = 0{,}724\\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}, \qquad H = 30\\ \mathrm{cm} = 0{,}30\\ \mathrm{m}.
Adoto g = 9{,}81\\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}.

Passo 4

Calcular os fatores numéricos passo a passo. Primeiro calculemos \sqrt{2g}:
\sqrt{2g} = \sqrt{2\cdot 9{,}81} = \sqrt{19{,}62} \approx 4{,}429\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}.
Agora calculemos H^{3/2}:
H^{3/2} = (0{,}30)^{3/2} = 0{,}30\cdot\sqrt{0{,}30} \approx 0{,}1643168\\ \mathrm{m^{3/2}}.

Passo 5

Montar o denominador da expressão de C_d e calcular numericamente. O denominador é
\frac{2}{3}\,b\sqrt{2g}\,H^{3/2}.
Substituindo os valores:
\frac{2}{3}\,b\sqrt{2g}\,H^{3/2} = \frac{2}{3}\cdot 2{,}5\cdot 4{,}429\cdot 0{,}1643168.
Faço as multiplicações em sequência:
\frac{2}{3}\cdot 2{,}5 = 1{,}6666667,
1{,}6666667\cdot 4{,}429 \approx 7{,}381667,
7{,}381667\cdot 0{,}1643168 \approx 1{,}21208\\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}.

Passo 6

Calcular C_d dividindo Q pelo valor do denominador:
C_d = \dfrac{Q}{1{,}21208} = \dfrac{0{,}724}{1{,}21208} \approx 0{,}59745.
Arredondando de forma razoável para três casas decimais:
C_d \approx 0{,}597.

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido: o valor obtido é coerente com coeficientes típicos de vertedores agudos (em torno de 0{,}6). Você já fez a parte mais difícil — montar a equação e integrar — agora é só aplicar isso rápido na prova. Força, você consegue!

Resposta

\,C_d = 0{,}597

Exercícios relacionados