Questão 4) Dado um tubo de aço inoxidável (\varepsilon=0,002 \mathrm{~mm}) e comprimento \mathrm{L}=20 \mathrm{~m}. Qual a perda de carga no tubo se a vazão for \mathrm{Q}=0,001 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e o diâmetro de \mathrm{D}=25 mm . O fluido escoando é água em C.N.T.P. usar a equação de Colebrook para obter o fator de atrito f.

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a perda de carga num tubo e dá os seguintes dados:
\varepsilon=0,002\\ \mathrm{mm}, \;L=20\\ \mathrm{m}, \;Q=0,001\\ \mathrm{m^{3}/s}, \;D=25\\ \mathrm{mm}.
O fluido é água em C.N.T.P. (usarei as propriedades padrão da água a 20^\circ\mathrm{C}: massa específica \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}} e viscosidade cinemática \nu=1,004\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}).
Pergunta explícita: “Qual a perda de carga no tubo?” (o enunciado pede também o fator de atrito f, que será obtido pela equação de Colebrook).

Passo 2

Converter unidades e calcular a velocidade média V.
Área da seção transversal do tubo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Aqui D=25\\ \mathrm{mm}=0,025\\ \mathrm{m}. Então
A=\frac{\pi (0,025)^{2}}{4}=0,0004909\\ \mathrm{m^{2}}\quad(\text{aprox.}).
Velocidade média V obtida por V=\dfrac{Q}{A}, onde Q é a vazão volumétrica. Assim
V=\frac{0,001}{0,0004909}=2,036\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}).
Explicação didática: a área de um círculo é \pi D^{2}/4. Dividindo a vazão pela área obtemos a velocidade média (o que efetivamente passa por aquela seção por unidade de tempo).

Passo 3

Calcular o número de Reynolds \mathrm{Re}.
Fórmula:
\mathrm{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média, D é o diâmetro e \nu é a viscosidade cinemática. Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{2,036\cdot 0,025}{1,004\times10^{-6}}=5,07\times10^{4}\quad(\text{aprox.}).
Significado: \mathrm{Re} mede a razão entre forças inerciais e viscosas; valores acima de aproximadamente 4000 indicam escoamento turbulento, aqui portanto o escoamento é turbulento.

Passo 4

Calcular a rugosidade relativa \dfrac{\varepsilon}{D}.
Primeiro converter \varepsilon: \varepsilon=0,002\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}. Então
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{2{,}0\times10^{-6}}{0,025}=8{,}0\times10^{-5}.
Esse número entra na equação de Colebrook.

Passo 5

Apresentar a equação de Colebrook e o método de solução.
A equação de Colebrook (implícita em f) é:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).
Explicação didática: f é o fator de atrito de Darcy (adimensional). A equação relaciona f com \varepsilon/D (rugosidade relativa) e \mathrm{Re}. Como f aparece dentro de um \sqrt{\\ } e dentro do logaritmo, não é possível isolar analiticamente; usa-se iteração numérica. Vou usar o método iterativo simples (método de ponto fixo) que é prático e converge rápido: dado um palpite inicial f_{0}, definimos
\frac{1}{\sqrt{f_{n+1}}}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_{n}}}\right)
e calculamos f_{n+1} até convergência. Como palpite inicial f_{0} podemos usar a fórmula de Blasius aproximada para turbulência suave:
f_{0}=\frac{0{,}3164}{\mathrm{Re}^{0{,}25}}.

Passo 6

Calcular o palpite inicial f_{0} e iterar Colebrook.
Palpite:
f_{0}=\frac{0{,}3164}{(5{,}07\times10^{4})^{0{,}25}}=0{,}02107\quad(\text{aprox.}).
Agora calcular iterações (vou mostrar a 1ª e a convergida):
Dados auxiliares:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{2{,}0\times10^{-6}}{3{,}7\cdot0,025}=2{,}162\times10^{-5}.
1ª iteração: com \sqrt{f_{0}}=\sqrt{0{,}02107}=0{,}1452,
\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_{0}}}=\frac{2{,}51}{5{,}07\times10^{4}\cdot0{,}1452}=3{,}410\times10^{-4}.
Somando à rugosidade relativa/(3,7):
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\sqrt{f_{0}}}=2{,}162\times10^{-5}+3{,}410\times10^{-4}=3{,}626\times10^{-4}.
Aplicando Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f_{1}}}=-2\log_{10}(3{,}626\times10^{-4})=6{,}882\quad\Rightarrow\quad\sqrt{f_{1}}=0{,}1453,
portanto
f_{1}=0{,}02112.
Segunda iteração (outra avaliação) dá praticamente o mesmo valor; a sequência já está convergida. Logo tomamos como resultado:
f\approx0{,}02111\quad(\text{arredondando}).
Comentário didático: a convergência foi rápida porque \mathrm{Re} e \varepsilon/D estão numa faixa em que o método se comporta bem; para casos muito extremos pode ser necessário mais iterações ou método de Newton.

Passo 7

Calcular a perda de carga (carga hidráulica) h_{f} usando a fórmula de Darcy-Weisbach.
Fórmula:
h_{f}=f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^{2}}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Primeiro calculemos \dfrac{V^{2}}{2g}:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(2{,}036)^{2}}{2\cdot9{,}81}=\frac{4{,}145}{19{,}62}=0{,}2113\\ \mathrm{m}.
Razão L/D:
\frac{L}{D}=\frac{20}{0,025}=800.
Portanto
h_{f}=0{,}02111\cdot800\cdot0{,}2113=3{,}57\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.}).
Interpretação: isso significa que, ao longo dos 20\\ \mathrm{m} de tubo, a energia por unidade de peso do fluido caiu cerca de 3{,}57\\ \mathrm{m} de coluna d’água devido ao atrito nas paredes.

Passo 8

(Se for necessário) converter perda de carga em perda de pressão \Delta p.
Relação: \Delta p=\rho g h_{f}. Substituindo:
\Delta p=998\cdot9{,}81\cdot3{,}57\approx3{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}=34{,}9\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

h_{f}\approx3{,}57\\ \mathrm{m}
\Delta p\approx3{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}

Exercícios relacionados