(3 pontos) Um resistor com resistência 10 \mathrm{M} \Omega é conectado em série com um capacitor de capacitância 1,0 \mathrm{mF} e com uma bateria de f.e.m. igual a 12,0 \mathrm{~V}. Antes de a chave ser fechada no instante t=0, - capacitor está descarregado.
(a) Qual é a constante de tempo?
(b) Qual é a fração da carga final Q_{f} que está sobre o capacitor quando t=46 \mathrm{~s} ?
(c) Qual é a fração da corrente inicial I_{0} que permanece quando t=46 \mathrm{~s} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Resistência: R=10\\ \text{M}\Omega. Vou escrever em ohms: R=10\times10^{6}\\ \Omega.
  • Capacitância: C=1{,}0\\ \text{mF}. Em farads: C=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{F}.
  • Fem da bateria: \mathcal{E}=12{,}0\\ \text{V}.
  • Inicialmente, no instante t=0, o capacitor está descarregado ( Q(0)=0).
O enunciado pede:
(a) A constante de tempo \tau do circuito.
(b) A fração da carga final Q_{f} que está no capacitor em t=46\\ \text{s}, ou seja \dfrac{Q(46\\ \text{s})}{Q_{f}}.
(c) A fração da corrente inicial I_{0} que permanece em t=46\\ \text{s}, ou seja \dfrac{I(46\\ \text{s})}{I_{0}}.

Passo 2

Explicando o conceito e a fórmula da constante de tempo \tau.
Quando um capacitor carrega por meio de uma resistência em série, a velocidade da carga é determinada pela constante de tempo \tau, definida por
\tau = R C.
Aqui:
  • R é a resistência em ohms ( \Omega),
  • C é a capacitância em farads (F),
  • \tau tem unidade de tempo (segundos).
Agora calculamos \tau substituindo os valores, fazendo as conversões explícitas:
R = 10\times10^{6}\\ \Omega,\qquad C = 1{,}0\times10^{-3}\\ \text{F}.
Multiplicando:
\tau = R C = \bigl(10\times10^{6}\bigr)\times\bigl(1{,}0\times10^{-3}\bigr) =10\times10^{3}=10{,}000\\ \text{s}.
Em notação científica: \tau=1{,}0\times10^{4}\\ \text{s}.
Comentário didático curto: \tau indica o tempo característico do circuito. Em t=\tau o capacitor atinge cerca de 63{,}2\% da carga final; mas aqui o \tau é muito grande ( 10{,}000\\ \text{s}), então em 46\\ \text{s} o capacitor estará ainda muito pouco carregado.

Passo 3

Lei da carga do capacitor e cálculo da fração de carga em t=46\\ \text{s}.
Para um capacitor carregando a partir de Q(0)=0 em circuito RC série vale a lei:
Q(t)=Q_{f}\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr),
onde:
  • Q_{f} é a carga final quando o capacitor está totalmente carregado (em regime), dada por Q_{f}=C\mathcal{E},
  • t é o tempo decorrido,
  • \tau é a constante de tempo.
A fração pedida é
\frac{Q(t)}{Q_{f}}=1-e^{-t/\tau}.
Substituindo t=46\\ \text{s} e \tau=10{,}000\\ \text{s}:
\frac{t}{\tau}=\frac{46}{10{,}000}=0{,}0046.
Agora precisamos calcular e^{-0{,}0046}. Como 0{,}0046 é um número pequeno, podemos usar a expansão em série de Taylor para e^{-x}:
e^{-x}\approx 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{6} + \cdots.
Tomando x=0{,}0046:
x=0{,}0046, \qquad x^{2}=0{,}00002116, \qquad \frac{x^{2}}{2}=0{,}00001058,
x^{3}\approx 9{,}7336\times10^{-8},\qquad \frac{x^{3}}{6}\approx1{,}62\times10^{-8},
o termo cúbico é desprezível aqui. Então
e^{-0{,}0046}\approx 1 - 0{,}0046 + 0{,}00001058 \approx 0{,}99541058.
Portanto a fração da carga final em t=46\\ \text{s} é
\frac{Q(46\\ \text{s})}{Q_{f}}=1-e^{-0{,}0046}\approx 1-0{,}99541058=0{,}00458942.
Em termos percentuais isso equivale a cerca de 0{,}4589\% da carga final — ou seja, menos de meio por cento.

Passo 4

Lei da corrente no circuito RC e fração da corrente inicial que permanece.
No processo de carga, a corrente decai exponencialmente:
I(t)=I_{0}\,e^{-t/\tau},
onde:
  • I_{0} é a corrente inicial em t=0, dada por I_{0}=\dfrac{\mathcal{E}}{R},
  • I(t) é a corrente no tempo t.
A fração pedida é simplesmente
\frac{I(t)}{I_{0}}=e^{-t/\tau}.
Já calculamos e^{-t/\tau} no passo anterior: para t=46\\ \text{s} e \tau=10{,}000\\ \text{s},
\frac{I(46\\ \text{s})}{I_{0}}=e^{-0{,}0046}\approx 0{,}99541058.
Isso corresponde a cerca de 99{,}541\% da corrente inicial — ou seja, quase toda a corrente inicial ainda está fluindo após 46\\ \text{s}, porque o circuito é muito lento (grande \tau).
Se for útil, o valor numérico da corrente inicial é
I_{0}=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{12{,}0}{10\times10^{6}}=1{,}2\times10^{-6}\\ \text{A}=1{,}2\\ \mu\text{A},
mas a questão pediu apenas a fração.

Resposta

\tau=1{,}0\times10^{4}\\ \text{s}
\dfrac{Q(46\\ \text{s})}{Q_{f}}\approx0{,}004589
\dfrac{I(46\\ \text{s})}{I_{0}}\approx0{,}995411

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