(3 pontos) Um resistor com resistência
é conectado em série com um capacitor de capacitância
e com uma bateria de f.e.m. igual a
. Antes de a chave ser fechada no instante
, - capacitor está descarregado.
(a) Qual é a constante de tempo?
(b) Qual é a fração da carga final
que está sobre o capacitor quando
?
(c) Qual é a fração da corrente inicial
que permanece quando
?
(a) Qual é a constante de tempo?
(b) Qual é a fração da carga final
(c) Qual é a fração da corrente inicial
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- Resistência:
. Vou escrever em ohms: . - Capacitância:
. Em farads: . - Fem da bateria:
. - Inicialmente, no instante
, o capacitor está descarregado ( ).
O enunciado pede:
(a) A constante de tempo do circuito.
(b) A fração da carga final que está no capacitor em
, ou seja
.
(c) A fração da corrente inicial que permanece em
, ou seja
.
(a) A constante de tempo
(b) A fração da carga final
(c) A fração da corrente inicial
Passo 2
Explicando o conceito e a fórmula da constante de tempo
.
Quando um capacitor carrega por meio de uma resistência em série, a velocidade da carga é determinada pela constante de tempo
, definida por
Aqui:
-
é a resistência em ohms ( ), -
é a capacitância em farads (F), -
tem unidade de tempo (segundos).
Agora calculamos
substituindo os valores, fazendo as conversões explícitas:
Multiplicando:
Em notação científica:
.
Comentário didático curto:
indica o tempo característico do circuito. Em
o capacitor atinge cerca de
da carga final; mas aqui o
é muito grande (
), então em
o capacitor estará ainda muito pouco carregado.
Passo 3
Lei da carga do capacitor e cálculo da fração de carga em
.
Para um capacitor carregando a partir de
em circuito RC série vale a lei:
onde:
-
é a carga final quando o capacitor está totalmente carregado (em regime), dada por , -
é o tempo decorrido, -
é a constante de tempo.
A fração pedida é
Substituindo
e
:
Agora precisamos calcular
. Como
é um número pequeno, podemos usar a expansão em série de Taylor para
:
Tomando
:
o termo cúbico é desprezível aqui. Então
Portanto a fração da carga final em
é
Em termos percentuais isso equivale a cerca de
da carga final — ou seja, menos de meio por cento.
Passo 4
Lei da corrente no circuito RC e fração da corrente inicial que permanece.
No processo de carga, a corrente decai exponencialmente:
onde:
-
é a corrente inicial em , dada por , -
é a corrente no tempo .
A fração pedida é simplesmente
Já calculamos
no passo anterior: para
e
,
Isso corresponde a cerca de
da corrente inicial — ou seja, quase toda a corrente inicial ainda está fluindo após
, porque o circuito é muito lento (grande
).
Se for útil, o valor numérico da corrente inicial é
mas a questão pediu apenas a fração.