Os coeficientes são funções de x (envolvem potências de x).
O domínio considerado é x>0.
A tarefa é encontrar a solução geral y(x) (com duas constantes arbitrárias porque é uma EDO de segunda ordem).
Passo 2
Motivo da estratégia (por que vamos tentar uma certa forma de solução).
Quando os coeficientes são potências de x (como x^2, x), uma boa tentativa é procurar soluções do tipo
y=x^{r},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa escolha é conveniente porque derivadas de potências de x também são potências de x multiplicadas por constantes, o que permite transformar a EDO em uma equação algébrica para r.
Passo 3
Calcular as derivadas de y=x^{r} e substituir na equação.
Derivadas:
Como x^{r}\neq 0 para x>0, a parte que tem de ser zero é o coeficiente algébrico:
r(r-1)+2r-2=0.
Passo 5
Resolver a equação característica para r.
Desenvolvendo:
r(r-1)+2r-2 = r^{2}-r+2r-2 = r^{2}+r-2.
Então a equação é
r^{2}+r-2=0.
Essa quadrática fatoriza:
r^{2}+r-2=(r-1)(r+2)=0,
logo as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=-2.
Passo 6
Construir a solução geral a partir das raízes encontradas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas r_{1} e r_{2}, duas soluções independentes da EDO são y_{1}=x^{r_{1}} e y_{2}=x^{r_{2}}. Portanto a solução geral é
y=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}}.
Substituindo r_{1}=1 e r_{2}=-2, obtemos
y=C_{1}x+C_{2}x^{-2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais).
Passo 7
Verificação rápida de independência (opcional, só para confiança).
Tome y_{1}=x e y_{2}=x^{-2}. Suas derivadas são y_{1}'=1 e y_{2}'=-2x^{-3}.