Q5. (1 pontos) Resolva a equação de Cauchy-Euler
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0 \quad \text { para } \quad x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y^{\prime\prime}+2x y^{\prime}-2y=0\quad\text{para}\quad x>0.
Informações importantes dadas:
  • A equação é de segunda ordem e linear.
  • Os coeficientes são funções de x (envolvem potências de x).
  • O domínio considerado é x>0.
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(x) (com duas constantes arbitrárias porque é uma EDO de segunda ordem).

Passo 2

Motivo da estratégia (por que vamos tentar uma certa forma de solução).
  • Quando os coeficientes são potências de x (como x^2, x), uma boa tentativa é procurar soluções do tipo
y=x^{r},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Essa escolha é conveniente porque derivadas de potências de x também são potências de x multiplicadas por constantes, o que permite transformar a EDO em uma equação algébrica para r.

Passo 3

Calcular as derivadas de y=x^{r} e substituir na equação.
Derivadas:
y=x^{r},\qquad y^{\prime}=r x^{r-1},\qquad y^{\prime\prime}=r(r-1)x^{r-2}.
Substituindo em
x^{2}y^{\prime\prime}+2x y^{\prime}-2y=0,
temos:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)+2x\bigl(r x^{r-1}\bigr)-2\bigl(x^{r}\bigr)=0.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida.
  • Multiplicando os fatores com potências de x:
x^{2}\cdot r(r-1)x^{r-2}=r(r-1)x^{r},
2x\cdot r x^{r-1}=2r x^{r},
-2x^{r}=-2x^{r}.
Somando tudo:
\bigl(r(r-1)+2r-2\bigr)x^{r}=0.
Como x^{r}\neq 0 para x>0, a parte que tem de ser zero é o coeficiente algébrico:
r(r-1)+2r-2=0.

Passo 5

Resolver a equação característica para r.
  • Desenvolvendo:
r(r-1)+2r-2 = r^{2}-r+2r-2 = r^{2}+r-2.
  • Então a equação é
r^{2}+r-2=0.
Essa quadrática fatoriza:
r^{2}+r-2=(r-1)(r+2)=0,
logo as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=-2.

Passo 6

Construir a solução geral a partir das raízes encontradas.
  • Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas r_{1} e r_{2}, duas soluções independentes da EDO são y_{1}=x^{r_{1}} e y_{2}=x^{r_{2}}. Portanto a solução geral é
y=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}}.
  • Substituindo r_{1}=1 e r_{2}=-2, obtemos
y=C_{1}x+C_{2}x^{-2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais).

Passo 7

Verificação rápida de independência (opcional, só para confiança).
  • Tome y_{1}=x e y_{2}=x^{-2}. Suas derivadas são y_{1}'=1 e y_{2}'=-2x^{-3}.
  • O Wronskiano é
W = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = x\cdot(-2x^{-3}) - 1\cdot x^{-2} = -2x^{-2}-x^{-2}=-3x^{-2},
que é diferente de zero para x>0. Assim y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e a combinação linear com duas constantes é a solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{-2}

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