Determine o conjunto de pontos ordinários e pontos singulares da EDO. Escolha a como um ponto ordinário da EDO e resolva o problema de valor inicial. Calcule os primeiros cinco coeficientes da solução desenvolvida em série em torno de x=a.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais:
Determinar o conjunto de pontos ordinários e pontos singulares da EDO.
Escolher a como um ponto ordinário e resolver o problema de valor inicial (PVI).
Calcular os primeiros cinco coeficientes da solução desenvolvida em série em torno de x=a.
Informações relevantes dadas: a equação e as condições iniciais acima; nada mais é fornecido sobre a além da indicação de que devemos tomá‑lo como ponto ordinário (logo a\neq -1). \n]
Passo 2
Definição e identificação de pontos ordinários/singulares (explicação didática, passo a passo).
Para uma EDO linear de segunda ordem escrita na forma
a_2(x)\,y''+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y=0,
um ponto x_0 é chamado de ponto ordinário se a_2(x_0)\neq 0 e as funções \frac{a_1(x)}{a_2(x)} e \frac{a_0(x)}{a_2(x)} são analíticas em x_0. Caso contrário x_0 é um ponto singular. Essa é a definição que vamos usar (ela garante que, depois de dividir por a_2(x), obtemos uma EDO na forma padrão com coeficientes analíticos).
Aqui podemos identificar os coeficientes comparando com a_2(x)\,y''+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y=0. Do enunciado:
As funções - (x+1) e 0 são polinomiais (portanto analíticas) em todo ponto real. No entanto, a expressão inicial da EDO contém a_2(x)=1/(x+1), que é indefinida em x=-1. O que importa é que a equação original não está definida em x=-1, portanto x=-1 é um ponto singular (a equação não existe ali). Para todo x\neq -1 a forma padrão
y''-(x+1)y'=0
é válida (obtida multiplicando ambos os lados por x+1) e os coeficientes são analíticos.
Conclusão:
Conjunto de pontos ordinários: todos os x tais que x\neq -1.
Ponto singular: x=-1.
(Lembrete amigável: por isso o enunciado pede para escolher a como ponto ordinário — estamos supondo a\neq -1.)
Passo 3
Resolução do PVI transformando a equação e reduzindo ordem (explicação didática).
Multiplicando a equação original por x+1 (válido quando x\neq -1) obtemos a forma mais simples:
y''-(x+1)y'=0.
Observe que essa equação é de segunda ordem, mas só envolve y' e y'', ou seja, podemos reduzir a ordem definindo u(x)=y'(x). Então u'(x)=y''(x). Substituindo:
u'-(x+1)u=0.
Isso é uma equação linear de primeira ordem para u. Dá para resolver por separação de variáveis ou por fator integrante; aqui uso separação (é bem direto).
Separando:
\frac{du}{u}=(x+1)\,dx.
Integramos ambos os lados:
\ln|u|=\frac{x^2}{2}+x+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
u(x)=C_1\,e^{\,\frac{x^2}{2}+x},
com C_1=e^C.
Como u=y', temos:
y'(x)=C_1\,e^{\,\frac{x^2}{2}+x}.
Integrando para obter y:
y(x)=C_1\int e^{\,\frac{x^2}{2}+x}\,dx + C_2.
A primitiva \int e^{x^2/2+x}\,dx não tem antiderivada elementar, e por isso fica expressa em termos de integral indefinida. Mas podemos usar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2 e escrever a solução de forma conveniente.
Essa é a solução do PVI para a\neq -1. É uma expressão bonita em termos de uma integral dependente de a.
Passo 4
Desenvolvimento em série em torno de x=a: método e cálculo dos primeiros coeficientes (aula prática).
Em provas costuma-se pedir os coeficientes da série de Taylor em torno de x=a. A série de Taylor para y em torno de a é
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,
onde
c_n=\frac{y^{(n)}(a)}{n!}.
Portanto, para obter os primeiros coeficientes basta calcular as derivadas de y em a usando a EDO (mais fácil do que tentar expandir a integral diretamente).
Já sabemos:
y'(x)=u(x),\qquad y''(x)=(x+1)u(x),
e que u(a)=y'(a)=1.
Calculemos as derivadas sucessivas em a usando relações entre elas (passo a passo, sem pular etapas).