Q4. (3 pontos) Considere
\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x+1} y^{\prime \prime}-y^{\prime}=0 \\\ y(a)=0, y^{\prime}(a)=1 . \end{array}\right.
Determine o conjunto de pontos ordinários e pontos singulares da EDO. Escolha a como um ponto ordinário da EDO e resolva o problema de valor inicial. Calcule os primeiros cinco coeficientes da solução desenvolvida em série em torno de x=a.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais:
\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{1}{x+1}\,y''-y'=0,\\[6pt] y(a)=0,\quad y'(a)=1. \end{array}\right.
As perguntas do exercício são:
  1. Determinar o conjunto de pontos ordinários e pontos singulares da EDO.
  2. Escolher a como um ponto ordinário e resolver o problema de valor inicial (PVI).
  3. Calcular os primeiros cinco coeficientes da solução desenvolvida em série em torno de x=a.
Informações relevantes dadas: a equação e as condições iniciais acima; nada mais é fornecido sobre a além da indicação de que devemos tomá‑lo como ponto ordinário (logo a\neq -1). \n]

Passo 2

Definição e identificação de pontos ordinários/singulares (explicação didática, passo a passo).
  • Para uma EDO linear de segunda ordem escrita na forma
a_2(x)\,y''+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y=0,
um ponto x_0 é chamado de ponto ordinário se a_2(x_0)\neq 0 e as funções \frac{a_1(x)}{a_2(x)} e \frac{a_0(x)}{a_2(x)} são analíticas em x_0. Caso contrário x_0 é um ponto singular. Essa é a definição que vamos usar (ela garante que, depois de dividir por a_2(x), obtemos uma EDO na forma padrão com coeficientes analíticos).
  • Aqui podemos identificar os coeficientes comparando com a_2(x)\,y''+a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y=0. Do enunciado:
a_2(x)=\frac{1}{x+1},\qquad a_1(x)=-1,\qquad a_0(x)=0.
Logo
\frac{a_1(x)}{a_2(x)} = \frac{-1}{1/(x+1)} = -(x+1),\qquad \frac{a_0(x)}{a_2(x)}=0.
As funções - (x+1) e 0 são polinomiais (portanto analíticas) em todo ponto real. No entanto, a expressão inicial da EDO contém a_2(x)=1/(x+1), que é indefinida em x=-1. O que importa é que a equação original não está definida em x=-1, portanto x=-1 é um ponto singular (a equação não existe ali). Para todo x\neq -1 a forma padrão
y''-(x+1)y'=0
é válida (obtida multiplicando ambos os lados por x+1) e os coeficientes são analíticos.
Conclusão:
  • Conjunto de pontos ordinários: todos os x tais que x\neq -1.
  • Ponto singular: x=-1.
(Lembrete amigável: por isso o enunciado pede para escolher a como ponto ordinário — estamos supondo a\neq -1.)

Passo 3

Resolução do PVI transformando a equação e reduzindo ordem (explicação didática).
  • Multiplicando a equação original por x+1 (válido quando x\neq -1) obtemos a forma mais simples:
y''-(x+1)y'=0.
  • Observe que essa equação é de segunda ordem, mas só envolve y' e y'', ou seja, podemos reduzir a ordem definindo u(x)=y'(x). Então u'(x)=y''(x). Substituindo:
u'-(x+1)u=0.
Isso é uma equação linear de primeira ordem para u. Dá para resolver por separação de variáveis ou por fator integrante; aqui uso separação (é bem direto).
  • Separando:
\frac{du}{u}=(x+1)\,dx.
Integramos ambos os lados:
\ln|u|=\frac{x^2}{2}+x+C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
u(x)=C_1\,e^{\,\frac{x^2}{2}+x},
com C_1=e^C.
  • Como u=y', temos:
y'(x)=C_1\,e^{\,\frac{x^2}{2}+x}.
Integrando para obter y:
y(x)=C_1\int e^{\,\frac{x^2}{2}+x}\,dx + C_2.
A primitiva \int e^{x^2/2+x}\,dx não tem antiderivada elementar, e por isso fica expressa em termos de integral indefinida. Mas podemos usar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2 e escrever a solução de forma conveniente.
  • Aplicando y'(a)=1:
1=y'(a)=C_1\,e^{\frac{a^2}{2}+a}\quad\Rightarrow\quad C_1=e^{-\left(\frac{a^2}{2}+a\right)}.
  • Aplicando y(a)=0:
0=y(a)=C_1\int^{a} e^{\frac{t^2}{2}+t}\,dt + C_2.
Escolhendo a integração definida desde a até x simplifica as constantes. Tomamos
y(x)=C_1\int_{a}^{x} e^{\frac{t^2}{2}+t}\,dt,
pois assim y(a)=0 automaticamente e y'(x)=C_1 e^{x^2/2+x} y'(a)=C_1 e^{a^2/2+a}=1 como desejado. Substituindo C_1 achado:
y(x)=e^{-\left(\frac{a^2}{2}+a\right)}\int_{a}^{x} e^{\frac{t^2}{2}+t}\,dt.
Essa é a solução do PVI para a\neq -1. É uma expressão bonita em termos de uma integral dependente de a.

Passo 4

Desenvolvimento em série em torno de x=a: método e cálculo dos primeiros coeficientes (aula prática).
  • Em provas costuma-se pedir os coeficientes da série de Taylor em torno de x=a. A série de Taylor para y em torno de a é
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n,
onde
c_n=\frac{y^{(n)}(a)}{n!}.
Portanto, para obter os primeiros coeficientes basta calcular as derivadas de y em a usando a EDO (mais fácil do que tentar expandir a integral diretamente).
  • Já sabemos:
y'(x)=u(x),\qquad y''(x)=(x+1)u(x),
e que u(a)=y'(a)=1.
Calculemos as derivadas sucessivas em a usando relações entre elas (passo a passo, sem pular etapas).
  1. y(a)=0 (dado). Então
c_0=\frac{y(a)}{0!}=0.
  1. y'(a)=1 (dado). Então
c_1=\frac{y'(a)}{1!}=1.
  1. y''(x)=(x+1)y'(x). Avaliando em x=a:
y''(a)=(a+1)y'(a)=(a+1)\cdot 1 = a+1.
Logo
c_2=\frac{y''(a)}{2!}=\frac{a+1}{2}.
  1. Para a terceira derivada, derivamos y''=(x+1)y':
y^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\big[(x+1)y'(x)\big]=1\cdot y'(x)+(x+1)y''(x)=y'(x)+(x+1)y''(x).
Avaliando em x=a e usando y'(a)=1 e y''(a)=a+1:
y^{(3)}(a)=1+(a+1)(a+1)=1+(a+1)^2.
Portanto
c_3=\frac{y^{(3)}(a)}{3!}=\frac{1+(a+1)^2}{6}.
  1. Para a quarta derivada, derivamos a expressão de y^{(3)}:
y^{(3)}(x)=y'(x)+(x+1)y''(x)\quad\Rightarrow\quad y^{(4)}(x)=y''(x)+1\cdot y''(x)+(x+1)y^{(3)}(x)=2y''(x)+(x+1)y^{(3)}(x).
Avaliando em x=a:
y^{(4)}(a)=2y''(a)+(a+1)y^{(3)}(a) =2(a+1)+(a+1)\big[1+(a+1)^2\big].
Fatorando (a+1):
y^{(4)}(a)=(a+1)\big[2+1+(a+1)^2\big]=(a+1)\big[3+(a+1)^2\big].
Assim
c_4=\frac{y^{(4)}(a)}{4!}=\frac{(a+1)\big[3+(a+1)^2\big]}{24}.
  • Já temos os primeiros cinco coeficientes c_0,c_1,c_2,c_3,c_4. Podemos escrever os termos iniciais da série:
y(x)=c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + c_4(x-a)^4 + \cdots
substituindo os valores encontrados.

Passo 5

Síntese final dos coeficientes e expressão truncada da série (útil na prova).
Substituindo cada c_n achado:
\begin{aligned} c_0&=0,\\\ c_1&=1,\\\ c_2&=\dfrac{a+1}{2},\\[4pt] c_3&=\dfrac{1+(a+1)^2}{6},\\[6pt] c_4&=\dfrac{(a+1)\big[3+(a+1)^2\big]}{24}. \end{aligned}
Portanto os primeiros termos da expansão em série em torno de x=a são
y(x)= (x-a) + \frac{a+1}{2}(x-a)^2 + \frac{1+(a+1)^2}{6}(x-a)^3 + \frac{(a+1)\big[3+(a+1)^2\big]}{24}(x-a)^4 + \cdots
Isso completa o cálculo pedindo os primeiros cinco coeficientes.]

Resposta

Pontos ordinários: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1\}.
Ponto singular: x=-1.
y(x)=e^{-\left(\frac{a^2}{2}+a\right)}\displaystyle\int_{a}^{x} e^{\frac{t^2}{2}+t}\,dt.
Coeficientes da série em torno de x=a:
c_0=0,\quad c_1=1,\quad c_2=\frac{a+1}{2},\quad c_3=\frac{1+(a+1)^2}{6},\quad c_4=\frac{(a+1)\big[3+(a+1)^2\big]}{24}.

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