Q3. (1 pontos) Determine o conjunto de convergência da serie de potencia \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}(x-3)^{n}.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}(x-3)^{n}
e pede para determinar o conjunto de convergência dessa série.
Informações relevantes que temos: os coeficientes da potência são a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}}, a série está centrada em x=3 (porque aparece (x-3)^{n}), e precisamos decidir para quais valores de x a soma converge. A resolução começará a partir do próximo passo.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (explicação didática): para séries de potências centradas em x=3, a técnica padrão e eficiente é usar o teste da razão (ratio test) aplicado aos coeficientes a_{n}. Vou explicar o teste da razão no contexto de séries de potências:
Considere uma série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n (x-3)^n. DefinaL=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|se esse limite existir. Então, para o valor fixo de x,\text{a série converge se } L\cdot|x-3|<1,é
\text{diverge se } L\cdot|x-3|>1.
Portanto o raio de convergência R (distância máxima de 3 para a qual converge) é
R=\frac{1}{L},
quando 0<L<\infty. Se L=0 então R=\infty; se L=\infty então R=0.
Aqui a_n são os coeficientes numéricos (\frac{n^{2}}{2^{n}}) e |x-3| é a distância ao centro. A ideia é calcular L e daí obter R. Depois, sempre precisamos testar separadamente os pontos na fronteira |x-3|=R (os extremos), pois o teste da razão não decide esses pontos.
Passo 3
Calcular o limite L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| com a_n=\dfrac{n^{2}}{2^{n}}.
Aqui cada termo geral é n^{2}. Uma condição necessária para que uma série numérica \sum b_n convirja é que b_n\to 0. Mas n^{2}\not\to 0 (na verdade n^{2}\to\infty). Então a série diverge imediatamente pelo teste do termo geral. Conclusão: em x=5 a série diverge.
O termo geral é n^{2}(-1)^{n}. Novamente, para qualquer série \sum b_n convergir é necessário que b_n\to 0. Mas |n^{2}(-1)^{n}|=n^{2}\not\to 0. Portanto os termos não tendem a zero e a série diverge. (Observação: mesmo sendo alternada, não satisfaz a condição básica de termos tendendo a zero, logo não converge.) Conclusão: em x=1 a série diverge.
Passo 7
Conclusão final juntando tudo:
Para |x-3|<2 a série converge (na verdade converge absolutamente).
Nos pontos da fronteira |x-3|=2, ou seja x=1 e x=5, a série diverge.
Portanto o conjunto de convergência é o intervalo aberto (1,5).