Q3. (1 pontos) Determine o conjunto de convergência da serie de potencia \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}(x-3)^{n}.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}(x-3)^{n}
e pede para determinar o conjunto de convergência dessa série.
Informações relevantes que temos: os coeficientes da potência são a_{n}=\frac{n^{2}}{2^{n}}, a série está centrada em x=3 (porque aparece (x-3)^{n}), e precisamos decidir para quais valores de x a soma converge. A resolução começará a partir do próximo passo.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (explicação didática): para séries de potências centradas em x=3, a técnica padrão e eficiente é usar o teste da razão (ratio test) aplicado aos coeficientes a_{n}. Vou explicar o teste da razão no contexto de séries de potências:
  • Considere uma série de potências \sum_{n=0}^\infty a_n (x-3)^n. Defina L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|se esse limite existir. Então, para o valor fixo de x, \text{a série converge se } L\cdot|x-3|<1,é
\text{diverge se } L\cdot|x-3|>1.
Portanto o raio de convergência R (distância máxima de 3 para a qual converge) é
R=\frac{1}{L},
quando 0<L<\infty. Se L=0 então R=\infty; se L=\infty então R=0.
  • Aqui a_n são os coeficientes numéricos ( \frac{n^{2}}{2^{n}}) e |x-3| é a distância ao centro. A ideia é calcular L e daí obter R. Depois, sempre precisamos testar separadamente os pontos na fronteira |x-3|=R (os extremos), pois o teste da razão não decide esses pontos.

Passo 3

Calcular o limite L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| com a_n=\dfrac{n^{2}}{2^{n}}.
Primeiro escrevo a razão:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{\dfrac{(n+1)^{2}}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{n^{2}}{2^{\,n}}} = \frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{1}{2}.
Agora avalio o limite quando n\to\infty. Note que
\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\xrightarrow[n\to\infty]{}1.
Logo
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Deduzir o raio de convergência e o intervalo interno de convergência:
Pelo passo anterior, L=\dfrac{1}{2}. Pelo critério da razão para séries de potências, a série converge quando
L\cdot|x-3|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{2}\,|x-3|<1.
Isto implica
|x-3|<2.
Portanto o raio de convergência é R=2 e a série converge absolutamente para todos os x tais que
|x-3|<2,
ou seja no intervalo aberto (3-2,\;3+2)=(1,5). Agora precisamos testar os extremos x=1 e x=5 separadamente.

Passo 5

Testar o extremo x=5 (isto é, x-3=2):
Substituindo x=5 na série obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}(2)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} n^{2}.
Aqui cada termo geral é n^{2}. Uma condição necessária para que uma série numérica \sum b_n convirja é que b_n\to 0. Mas n^{2}\not\to 0 (na verdade n^{2}\to\infty). Então a série diverge imediatamente pelo teste do termo geral. Conclusão: em x=5 a série diverge.

Passo 6

Testar o extremo x=1 (isto é, x-3=-2):
Substituindo x=1 na série obtemos
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}(-2)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} n^{2}(-1)^{n}.
O termo geral é n^{2}(-1)^{n}. Novamente, para qualquer série \sum b_n convergir é necessário que b_n\to 0. Mas |n^{2}(-1)^{n}|=n^{2}\not\to 0. Portanto os termos não tendem a zero e a série diverge. (Observação: mesmo sendo alternada, não satisfaz a condição básica de termos tendendo a zero, logo não converge.) Conclusão: em x=1 a série diverge.

Passo 7

Conclusão final juntando tudo:
  • Para |x-3|<2 a série converge (na verdade converge absolutamente).
  • Nos pontos da fronteira |x-3|=2, ou seja x=1 e x=5, a série diverge.
Portanto o conjunto de convergência é o intervalo aberto (1,5).

Resposta

(1,5)

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