Podemos simplificar o primeiro termo: \sqrt{3}\cdot\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+\dfrac{11}{3}}=\dfrac{x}{2}\sqrt{3x^{2}+11}. Mantendo a forma do logaritmo, obtemos
onde C é a constante de integração geral. Esta é a solução implícita da equação diferencial. Observação: isolar y em função de x explicitamente exigiria manipulações com funções inversas complicadas; portanto a forma implícita acima é a forma natural da solução geral.
Passo 6
Resumo prático do método para usar na prova (dicas rápidas e amigáveis):
Separe sempre multiplicando/invertendo de forma a ter algo do tipo g(y)\,dy=f(x)\,dx.
Quando aparecer \sqrt{11+e^{y}}, a substituição t=e^{y} costuma reduzir exponenciais dentro de raízes.
Para integrais do tipo \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\;dx memorize a fórmula indicada — ela é muito útil e aparece com frequência.
Não se assuste se a solução ficar implícita: em muitos ODEs por separação isso é o esperado.