(2 pontos) Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis:
\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{11+3 x^{2}}{11+e^{y}}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver por separação de variáveis a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{11+3 x^{2}}{11+e^{y}}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação relaciona \dfrac{dy}{dx} com x e y.
  • O objetivo é obter a solução geral y(x) (ou uma forma implícita dela) usando separação de variáveis.
  • Não há condição inicial dada, então vamos obter a solução com uma constante de integração arbitrária.

Passo 2

Primeiro passo prático: separar as variáveis y e x colocando termos que dependem só de y de um lado e termos que dependem só de x do outro.
Começamos com a equação dada:
\frac{d y}{d x}=\sqrt{\frac{11+3 x^{2}}{11+e^{y}}}.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{11+e^{y}} e por dx, obtemos a separação:
\sqrt{11+e^{y}}\;dy=\sqrt{11+3x^{2}}\;dx.
Agora integramos os dois lados:
\int \sqrt{11+e^{y}}\;dy=\int \sqrt{11+3x^{2}}\;dx.

Passo 3

Vamos calcular o integral do lado esquerdo
\int \sqrt{11+e^{y}}\;dy.
Explico passo a passo uma técnica que funciona bem aqui.
  1. Faço a substituição t=e^{y}. Então dt=e^{y}dy=t\,dy, logo dy=\dfrac{dt}{t}. Note que peguei t porque e^{y} aparece dentro da raiz e isso simplifica.
  2. Substituindo:
\int \sqrt{11+e^{y}}\;dy=\int \frac{\sqrt{11+t}}{t}\;dt.
  1. Agora faço outra substituição conveniente: u=\sqrt{11+t}. Então t=u^{2}-11 e dt=2u\,du. Substituindo:
\int \frac{\sqrt{11+t}}{t}\;dt=\int \frac{u}{u^{2}-11}\cdot 2u\,du=\int \frac{2u^{2}}{u^{2}-11}\;du.
  1. Para integrar \dfrac{2u^{2}}{u^{2}-11} faço uma divisão algébrica:
\frac{2u^{2}}{u^{2}-11}=2\cdot\frac{u^{2}-11+11}{u^{2}-11}=2\left(1+\frac{11}{u^{2}-11}\right)=2+\frac{22}{u^{2}-11}.
  1. Integro cada termo separadamente. Uso a fórmula padrão
\int \frac{1}{u^{2}-a^{2}}\;du=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|+C,
com a=\sqrt{11}. Assim
\int\left(2+\frac{22}{u^{2}-11}\right)du=2u+22\cdot\frac{1}{2\sqrt{11}}\ln\left|\frac{u-\sqrt{11}}{u+\sqrt{11}}\right|+C.
Simplificando o coeficiente do logaritmo 22\cdot\frac{1}{2\sqrt{11}}=\sqrt{11}, obtemos
2u+\sqrt{11}\ln\left|\frac{u-\sqrt{11}}{u+\sqrt{11}}\right|+C.
  1. Volto às variáveis originais: u=\sqrt{11+t}=\sqrt{11+e^{y}}. Portanto o integral do lado esquerdo é
\int \sqrt{11+e^{y}}\;dy=2\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}\ln\left|\frac{\sqrt{11+e^{y}}-\sqrt{11}}{\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}}\right|+C.

Passo 4

Agora calculo o integral do lado direito
\int \sqrt{11+3x^{2}}\;dx.
Uso a identidade padrão para integrais do tipo \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\;dx, que é
\int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\;dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right|+C.
No nosso caso factoramos 3 dentro da raiz:
\sqrt{11+3x^{2}}=\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}.
Aplicando a fórmula com a^{2}=\dfrac{11}{3} (portanto a=\sqrt{11/3}) e lembrando do fator \sqrt{3}, temos
\int \sqrt{11+3x^{2}}\;dx=\sqrt{3}\left(\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}+\frac{11}{6}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}\right|\right)+C.
Podemos simplificar o primeiro termo: \sqrt{3}\cdot\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+\dfrac{11}{3}}=\dfrac{x}{2}\sqrt{3x^{2}+11}. Mantendo a forma do logaritmo, obtemos
\int \sqrt{11+3x^{2}}\;dx=\frac{x}{2}\sqrt{3x^{2}+11}+\frac{11\sqrt{3}}{6}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}\right|+C.

Passo 5

Agora igualamos os dois integrais (colocando apenas uma constante arbitrária no lado direito):
2\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}\ln\left|\frac{\sqrt{11+e^{y}}-\sqrt{11}}{\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}}\right| =\frac{x}{2}\sqrt{3x^{2}+11}+\frac{11\sqrt{3}}{6}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}\right|+C,
onde C é a constante de integração geral. Esta é a solução implícita da equação diferencial. Observação: isolar y em função de x explicitamente exigiria manipulações com funções inversas complicadas; portanto a forma implícita acima é a forma natural da solução geral.

Passo 6

Resumo prático do método para usar na prova (dicas rápidas e amigáveis):
  • Separe sempre multiplicando/invertendo de forma a ter algo do tipo g(y)\,dy=f(x)\,dx.
  • Quando aparecer \sqrt{11+e^{y}}, a substituição t=e^{y} costuma reduzir exponenciais dentro de raízes.
  • Para integrais do tipo \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\;dx memorize a fórmula indicada — ela é muito útil e aparece com frequência.
  • Não se assuste se a solução ficar implícita: em muitos ODEs por separação isso é o esperado.

Resposta

2\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}\ln\left|\frac{\sqrt{11+e^{y}}-\sqrt{11}}{\sqrt{11+e^{y}}+\sqrt{11}}\right| =\frac{x}{2}\sqrt{3x^{2}+11}+\frac{11\sqrt{3}}{6}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+\frac{11}{3}}\right|+C

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