Questão 2. Dada a matriz A=\left(\begin{array}{ll}4 & 2 \\\\ 2 & 2\end{array}\right).
(a) (Vale 2.0 pontos.) Exiba os fatores L e U da fatoração L U. Após exibir os fatores L e U encontre o produto L U.
(b) (Vale 2.0 pontos.) Se A x=b, onde x=\binom{x_{1}}{x_{2}} e b=\binom{4}{6}.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}4 & 2 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • (a) Exibir os fatores L e U da fatoração LU (sem pivoteamento) e depois calcular o produto LU.
  • (b) Resolver o sistema A x=b com
x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt] x_{2}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}4\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (passo-a-passo didático, tipo prova):
  • Vou usar a fatoração de Doolittle onde L tem 1 na diagonal e U é triangular superior.
  • Escrevemos
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix}.
  • A ideia é impor A=LU. Igualando entradas obtemos fórmulas simples:
u_{11}=a_{11},\qquad \ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}},\qquad u_{12}=a_{12},\qquad u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}.
Aqui a_{ij} são os elementos de A. Vou aplicar essas fórmulas ao caso concreto.]

Passo 3

Calcular u_{11}. Pela fórmula:
u_{11}=a_{11}=4.

Passo 4

Calcular \ell_{21}. Pela fórmula:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular u_{12}. Pela fórmula:
u_{12}=a_{12}=2.

Passo 6

Calcular u_{22}. Pela fórmula:
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=2-\tfrac{1}{2}\cdot 2=2-1=1.

Passo 7

Agora escrevo L e U completos e calculo o produto LU.
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando L por U:
LU=\begin{pmatrix} 1\cdot 4 + 0\cdot 0 & 1\cdot 2 + 0\cdot 1\\[6pt] \tfrac{1}{2}\cdot 4 + 1\cdot 0 & \tfrac{1}{2}\cdot 2 + 1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix},
que de fato coincide com A.]

Passo 8

Agora resolvo A x=b usando LU. Método:
  1. Resolver L y = b por substituição direta (forward substitution).
  2. Depois resolver U x = y por substituição para trás (back substitution).
    Vou fazer isso passo a passo.

Passo 9

Resolver L y=b. Escrevendo y=\begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt]y_{2}\end{pmatrix}, o sistema L y=b é
\begin{cases} 1\cdot y_{1} + 0\cdot y_{2} = 4,\\[4pt] \tfrac{1}{2}\cdot y_{1} + 1\cdot y_{2} = 6. \end{cases}
Da primeira equação obtemos
y_{1}=4.
Substituindo na segunda:
\tfrac{1}{2}\cdot 4 + y_{2} = 6 \quad\Rightarrow\quad 2 + y_{2}=6 \quad\Rightarrow\quad y_{2}=4.
Logo
y=\begin{pmatrix}4\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 10

Resolver U x = y. Escrevendo x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} e usando
U=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
o sistema é
\begin{cases} 4x_{1}+2x_{2}=4,\\[4pt] 0\cdot x_{1}+1\cdot x_{2}=4. \end{cases}
Da segunda equação:
x_{2}=4.
Substituindo na primeira:
4x_{1}+2\cdot 4=4 \quad\Rightarrow\quad 4x_{1}+8=4 \quad\Rightarrow\quad 4x_{1}=-4 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=-1.
Portanto
x=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\tfrac{1}{2} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}
LU=\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}.
(b) x=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

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