e pede duas coisas:
(a) exibir os dois fatores da fatoração de Cholesky (ou seja, uma matriz triangular inferior L tal que A=LL^{T} e o seu transposto L^{T});
(b) resolver o sistema linear A x=b com
Anotei todas as informações necessárias; a partir daqui vou construir passo a passo a fatoração de Cholesky e usar essa fatoração para resolver o sistema.]
Passo 2
O que é a fatoração de Cholesky e quando podemos usá-la?
A fatoração de Cholesky diz que, se A é simétrica e definida positiva, então existe uma única matriz triangular inferior L com elementos diagonais positivos tal que
Agora uso a fatoração para resolver A x=b\). Primeiro faço a substituição para a frente \(L y=b\). Escrevendo \(y=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}\), o sistema \(L y=b\) é
\[\begin{cases} 2y_{1} &= -6,\\[4pt] 1\cdot y_{1}+4y_{2} &= 9,\\[4pt] 7y_{1}-3y_{2}+5y_{3} &= -55. \end{cases}
Vou resolver em ordem (substituição para a frente): calcular y_{1}\], depois \(y_{2}, depois y_{3}.]