Questão 3. Dada a matriz A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 2 & 14 \\\\ 2 & 17 & -5 \\\\ 14 & -5 & 83\end{array}\right).
(a) Exiba os dois fatores da fatoração de Cholesky;
(b) Se A x=b, onde x=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right) e b=\left(\begin{array}{c}-6 \\\\ 9 \\\\ -55\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}4 & 2 & 14 \\[4pt] 2 & 17 & -5 \\[4pt] 14 & -5 & 83\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
(a) exibir os dois fatores da fatoração de Cholesky (ou seja, uma matriz triangular inferior L tal que A=LL^{T} e o seu transposto L^{T});
(b) resolver o sistema linear A x=b com
x=\begin{pmatrix}x_{1}\\[2pt] x_{2}\\[2pt] x_{3}\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-6\\[2pt] 9\\[2pt] -55\end{pmatrix}.
Anotei todas as informações necessárias; a partir daqui vou construir passo a passo a fatoração de Cholesky e usar essa fatoração para resolver o sistema.]

Passo 2

O que é a fatoração de Cholesky e quando podemos usá-la?
  • A fatoração de Cholesky diz que, se A é simétrica e definida positiva, então existe uma única matriz triangular inferior L com elementos diagonais positivos tal que
A = L L^{T}.
  • Em prática, L tem a forma
L=\begin{pmatrix} \ell_{11} & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & \ell_{22} & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & \ell_{33} \end{pmatrix}.
  • Para encontrar os elementos de L usamos fórmulas diretas (algoritmo de Cholesky):
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}},\qquad \ell_{i1}=\frac{a_{i1}}{\ell_{11}}\\ (i>1),
e, em geral para k-ésima etapa,
\ell_{kk}=\sqrt{a_{kk}-\sum_{j=1}^{k-1}\ell_{kj}^{2}},\qquad \ell_{ik}=\frac{1}{\ell_{kk}}\left(a_{ik}-\sum_{j=1}^{k-1}\ell_{ij}\ell_{kj}\right)\quad (i>k).
Vou aplicar exatamente essas fórmulas passo a passo à matriz A. Depois, para resolver Ax=b usarei duas substituições triangulares:
  1. resolver L y = b (substituição para a frente), obtendo y;
  2. resolver L^{T} x = y (substituição para trás), obtendo x.]

Passo 3

Calcular a primeira coluna de L.
  • Começo com \ell_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2.
  • Em seguida,
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{\ell_{11}}=\frac{2}{2}=1, \qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{\ell_{11}}=\frac{14}{2}=7.
Portanto, até agora temos
L=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & \ast & 0\\[4pt] 7 & \ast & \ast \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular \ell_{22} e \ell_{32}.
  • Pela fórmula:
\ell_{22}=\sqrt{a_{22}-\ell_{21}^{2}}=\sqrt{17-1^{2}}=\sqrt{16}=4.
  • Depois,
\ell_{32}=\frac{1}{\ell_{22}}\bigl(a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}\bigr) =\frac{-5-7\cdot 1}{4}=\frac{-12}{4}=-3.
Agora L está parcialmente:
L=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 4 & 0\\[4pt] 7 & -3 & \ast \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular \ell_{33} (último elemento da diagonal).
  • Fórmula:
\ell_{33}=\sqrt{a_{33}-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2}} =\sqrt{83-7^{2}-(-3)^{2}} =\sqrt{83-49-9} =\sqrt{25}=5.
Portanto a matriz L completa é
L=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 4 & 0\\[4pt] 7 & -3 & 5 \end{pmatrix},
e o outro fator é o transposto
L^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 7\\[4pt] 0 & 4 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora uso a fatoração para resolver A x=b\). Primeiro faço a substituição para a frente \(L y=b\). Escrevendo \(y=(y_{1},y_{2},y_{3})^{T}\), o sistema \(L y=b\) é \[\begin{cases} 2y_{1} &= -6,\\[4pt] 1\cdot y_{1}+4y_{2} &= 9,\\[4pt] 7y_{1}-3y_{2}+5y_{3} &= -55. \end{cases}
Vou resolver em ordem (substituição para a frente): calcular y_{1}\], depois \(y_{2}, depois y_{3}.]

Passo 7

Resolver L y=b passo a passo.
  • Da primeira equação:
2y_{1}=-6\quad\Rightarrow\quad y_{1}=-3.
  • Da segunda:
y_{1}+4y_{2}=9\quad\Rightarrow\quad -3+4y_{2}=9\quad\Rightarrow\quad 4y_{2}=12\quad\Rightarrow\quad y_{2}=3.
  • Da terceira:
7y_{1}-3y_{2}+5y_{3}=-55.
Substituindo y_{1}=-3 e y_{2}=3:
7(-3)-3(3)+5y_{3}=-55 \Rightarrow -21-9+5y_{3}=-55 \Rightarrow -30+5y_{3}=-55,
assim
5y_{3}=-25\quad\Rightarrow\quad y_{3}=-5.
Logo
y=\begin{pmatrix}-3\\[2pt]3\\[2pt]-5\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resolvo L^{T} x = y por substituição para trás. Escrevendo x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}, o sistema é
\begin{cases} 2x_{1}+1x_{2}+7x_{3} &= -3,\\[4pt] 4x_{2}-3x_{3} &= 3,\\[4pt] 5x_{3} &= -5. \end{cases}
Resolvendo de baixo para cima:
  • Da terceira equação:
5x_{3}=-5\quad\Rightarrow\quad x_{3}=-1.
  • Da segunda:
4x_{2}-3x_{3}=3\quad\Rightarrow\quad 4x_{2}-3(-1)=3\quad\Rightarrow\quad 4x_{2}+3=3\quad\Rightarrow\quad 4x_{2}=0,
portanto
x_{2}=0.
  • Da primeira:
2x_{1}+x_{2}+7x_{3}=-3\quad\Rightarrow\quad 2x_{1}+0+7(-1)=-3\quad\Rightarrow\quad 2x_{1}-7=-3,
logo
2x_{1}=4\quad\Rightarrow\quad x_{1}=2.
Assim
x=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): calcular A x e conferir que dá b.
  • Multiplicando:
A x = \begin{pmatrix}4 & 2 & 14 \\[4pt] 2 & 17 & -5 \\[4pt] 14 & -5 & 83\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\cdot 2 + 2\cdot 0 + 14\cdot(-1)\\[4pt]2\cdot 2 + 17\cdot 0 + (-5)\cdot(-1)\\[4pt]14\cdot 2 + (-5)\cdot 0 + 83\cdot(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\[2pt]9\\[2pt]-55\end{pmatrix}=b.
A solução está correta e a fatoração também.]

Resposta

(a) L=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\[4pt]1 & 4 & 0\\[4pt]7 & -3 & 5\end{pmatrix}, \qquad L^{T}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 7\\[4pt]0 & 4 & -3\\[4pt]0 & 0 & 5\end{pmatrix}
(b) x=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix}]

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