(2 pontos) Resolva a equação
\sin (3 x) d x+2 y \cos ^{3}(3 x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\sin(3x)\,dx + 2y\cos^{3}(3x)\,dy = 0.
O método é o de variáveis separáveis: vamos rearranjar para ter todos os termos em x com dx de um lado e todos os termos em y com dy do outro.

Passo 2

Isolando os termos, dividimos ambos os lados por \cos^{3}(3x) (que presumimos não nulo) e por dx:
\sin(3x)\,dx = -\,2y\cos^{3}(3x)\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin(3x)}{\cos^{3}(3x)}\,dx = -2y\,dy.

Passo 3

Integramos cada lado:
\int \frac{\sin(3x)}{\cos^{3}(3x)}\,dx = \int -2y\,dy.
Para a integral da esquerda, use a substituição u = \cos(3x), de onde du = -3\sin(3x)\,dx, ou \sin(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}\,du. Assim,
\int \frac{\sin(3x)}{\cos^{3}(3x)}\,dx = \int u^{-3}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{3}\int u^{-3}du = -\tfrac{1}{3}\cdot\bigl(\tfrac{u^{-2}}{-2}\bigr) = \tfrac{1}{6}u^{-2} = \frac{1}{6\cos^{2}(3x)}.
A integral da direita é imediata:
\int -2y\,dy = -y^{2}.
Portanto obtemos
\frac{1}{6\cos^{2}(3x)} = -\,y^{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Reorganizando para expor a solução implícita,
y^{2} + \frac{1}{6\cos^{2}(3x)} = C \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2} + \frac{1}{6}\operatorname{sec}^{2}(3x) = C.

Resposta

y^{2} + \frac{1}{6}\operatorname{sec}^{2}(3x) = C,
onde C é constante de integração.

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