(2 PONTOS) Resolva os itens abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é uma razão cujos numerador e denominador envolvem potências fracionárias de
. - Precisamos avaliar o comportamento quando
.
O que procurar inicialmente:
- Verificar o tipo de forma indeterminada ao substituir
diretamente. - Escolher um método adequado (por exemplo, regra de L’Hôpital ou expansão em série) para resolver o limite.
Passo 2
Verificar a substituição direta em
.
Calcular o numerador em
:
Calcular o denominador em
:
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Isso indica que podemos tentar a regra de L’Hôpital (ou outra técnica) para resolver o limite.
Passo 3
Recordando a regra de L’Hôpital (de forma prática e didática):
- Se
tem forma ou e e são diferenciáveis num intervalo ao redor de (exceto possivelmente em ), então
desde que o limite à direita exista (ou seja
).
No nosso caso, as funções envolvidas são combinações de potências de
, que são diferenciáveis perto de
. Então podemos aplicar L’Hôpital e derivar numerador e denominador em relação a
.
Passo 4
Calcular a derivada do numerador:
O numerador é .
O numerador é
Usando a regra da cadeia, a derivada de
é
A derivada de
é
Portanto
Avaliar em
:
Passo 5
Calcular a derivada do denominador:
O denominador é .
O denominador é
Derivando termpor termpo:
Portanto
Avaliar em
:
Passo 6
Aplicar L’Hôpital: o limite original é o limite das derivadas, logo
Simplificar a fração:
Também dá para ver esse resultado pela expansão em série de
(binômio generalizado): o termo linear em
em
é
, e a razão dos coeficientes lineares para
e
é
, chegando ao mesmo resultado. Mas a aplicação direta de L’Hôpital é mais curta e igualmente rigorosa aqui.