(2 PONTOS) Resolva os itens abaixo.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{1 / 5}-(1-x)^{1 / 5}}{(1+x)^{1 / 3}-(1-x)^{1 / 3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{1/5}-(1-x)^{1/5}}{(1+x)^{1/3}-(1-x)^{1/3}}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão cujos numerador e denominador envolvem potências fracionárias de 1\pm x.
  • Precisamos avaliar o comportamento quando x\to 0.
O que procurar inicialmente:
  • Verificar o tipo de forma indeterminada ao substituir x=0 diretamente.
  • Escolher um método adequado (por exemplo, regra de L’Hôpital ou expansão em série) para resolver o limite.

Passo 2

Verificar a substituição direta em x=0.
Calcular o numerador em x=0:
(1+0)^{1/5}-(1-0)^{1/5}=1-1=0.
Calcular o denominador em x=0:
(1+0)^{1/3}-(1-0)^{1/3}=1-1=0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0. Isso indica que podemos tentar a regra de L’Hôpital (ou outra técnica) para resolver o limite.

Passo 3

Recordando a regra de L’Hôpital (de forma prática e didática):
  • Se \displaystyle\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} tem forma 0/0 ou \infty/\infty e f e g são diferenciáveis num intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty).
No nosso caso, as funções envolvidas são combinações de potências de 1\pm x, que são diferenciáveis perto de x=0. Então podemos aplicar L’Hôpital e derivar numerador e denominador em relação a x.

Passo 4

Calcular a derivada do numerador:
O numerador é N(x)=(1+x)^{1/5}-(1-x)^{1/5}.
Usando a regra da cadeia, a derivada de (1+x)^{1/5} é
\frac{d}{dx}(1+x)^{1/5}=\frac{1}{5}(1+x)^{-4/5}.
A derivada de (1-x)^{1/5} é
\frac{d}{dx}(1-x)^{1/5}=\frac{1}{5}(1-x)^{-4/5}\cdot(-1)=-\frac{1}{5}(1-x)^{-4/5}.
Portanto
N'(x)=\frac{1}{5}(1+x)^{-4/5}-\bigl(-\frac{1}{5}(1-x)^{-4/5}\bigr) =\frac{1}{5}\bigl((1+x)^{-4/5}+(1-x)^{-4/5}\bigr).
Avaliar em x=0:
N'(0)=\frac{1}{5}\bigl(1^{ -4/5}+1^{ -4/5}\bigr)=\frac{1}{5}(1+1)=\frac{2}{5}.

Passo 5

Calcular a derivada do denominador:
O denominador é D(x)=(1+x)^{1/3}-(1-x)^{1/3}.
Derivando termpor termpo:
\frac{d}{dx}(1+x)^{1/3}=\frac{1}{3}(1+x)^{-2/3}, \qquad \frac{d}{dx}(1-x)^{1/3}=\frac{1}{3}(1-x)^{-2/3}\cdot(-1)=-\frac{1}{3}(1-x)^{-2/3}.
Portanto
D'(x)=\frac{1}{3}\bigl((1+x)^{-2/3}+(1-x)^{-2/3}\bigr).
Avaliar em x=0:
D'(0)=\frac{1}{3}(1+1)=\frac{2}{3}.

Passo 6

Aplicar L’Hôpital: o limite original é o limite das derivadas, logo
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^{1/5}-(1-x)^{1/5}}{(1+x)^{1/3}-(1-x)^{1/3}} =\frac{N'(0)}{D'(0)} =\frac{\tfrac{2}{5}}{\tfrac{2}{3}}.
Simplificar a fração:
\frac{\tfrac{2}{5}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{5}.
Também dá para ver esse resultado pela expansão em série de (1\pm x)^a (binômio generalizado): o termo linear em x em (1+x)^a-(1-x)^a é 2ax, e a razão dos coeficientes lineares para a=\tfrac{1}{5} e a=\tfrac{1}{3} é (\tfrac{1}{5})/(\tfrac{1}{3})=3/5, chegando ao mesmo resultado. Mas a aplicação direta de L’Hôpital é mais curta e igualmente rigorosa aqui.

Resposta

\dfrac{3}{5}

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