(2 PONTOS) Resolva os itens abaixo.
Encontre os valores para
e
tais que
Encontre os valores para
Passo 1
O enunciado dá a seguinte expressão e pede os valores de
e
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável tende a
. - A função no numerador é
. - O objetivo é escolher
e de modo que o limite acima valha exatamente .
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): para que o quociente sobre
tenha limite finito e igual a
quando
, o numerador precisa ser pelo menos da ordem de
quando
é pequeno. Ou seja, os termos em ordem menor que
(como
ou
) devem desaparecer por escolha apropriada de
e
. Uma ferramenta natural para ver as ordens dos termos é a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função
em torno de
.
Passo 3
Relembrando a expansão de Taylor (Maclaurin) da função seno: para uma variável
pequena,
onde
significa termos de ordem
ou maior (que são negligenciáveis frente a
quando
). Aqui a variável é
. Substituindo
obtemos:
Passo 4
Calcule o termo cúbico explicitamente:
Portanto
Passo 5
Agora substitui essa expansão no numerador:
Agrupando pelos mesmos poderes de
:
Passo 6
Dividindo por
para formar o quociente do limite:
Observe o comportamento quando
:
- O termo
tende para (ou é indefinido) a menos que o numerador desse termo seja zero. - Para que o limite exista e seja finito (e igual a
), é necessário primeiro fazer .
Passo 7
Impondo
, obtemos
Com essa escolha, o termo singular
desaparece e o quociente fica, quando
,
Passo 8
Para que o limite valha exatamente
, exigimos
Passo 9
Resumo / verificação rápida: com
os termos em
cancelam; com
o coeficiente do termo
também fica tal que o quociente tende a
. Portanto esses valores satisfazem a condição pedida.