(2 PONTOS) Resolva os itens abaixo.
Encontre os valores para a e b tais que
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} 3 x+a x+b x^{3}}{x^{3}}=0

Passo 1

O enunciado dá a seguinte expressão e pede os valores de a e b:
\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen}3x + a x + b x^{3}}{x^{3}} = 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável tende a 0.
  • A função no numerador é \operatorname{sen}3x + a x + b x^{3}.
  • O objetivo é escolher a e b de modo que o limite acima valha exatamente 0.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para que o quociente sobre x^{3} tenha limite finito e igual a 0 quando x\to0, o numerador precisa ser pelo menos da ordem de x^{3} quando x é pequeno. Ou seja, os termos em ordem menor que x^{3} (como x ou x^{2}) devem desaparecer por escolha apropriada de a e b. Uma ferramenta natural para ver as ordens dos termos é a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função \sin em torno de 0.

Passo 3

Relembrando a expansão de Taylor (Maclaurin) da função seno: para uma variável y pequena,
\sin y = y - \frac{y^{3}}{6} + O(y^{5}),
onde O(y^{5}) significa termos de ordem y^{5} ou maior (que são negligenciáveis frente a y^{3} quando y\to0). Aqui a variável é y=3x. Substituindo y=3x obtemos:
\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + O(x^{5}).

Passo 4

Calcule o termo cúbico explicitamente:
\frac{(3x)^{3}}{6} = \frac{27 x^{3}}{6} = \frac{9}{2}\,x^{3}.
Portanto
\sin(3x) = 3x - \frac{9}{2}\,x^{3} + O(x^{5}).

Passo 5

Agora substitui essa expansão no numerador:
\sin(3x) + a x + b x^{3} = \bigl(3x - \tfrac{9}{2}x^{3} + O(x^{5})\bigr) + a x + b x^{3}.
Agrupando pelos mesmos poderes de x:
\sin(3x) + a x + b x^{3} = (3+a)\,x + \bigl(b - \tfrac{9}{2}\bigr)\,x^{3} + O(x^{5}).

Passo 6

Dividindo por x^{3} para formar o quociente do limite:
\frac{\sin(3x) + a x + b x^{3}}{x^{3}} = \frac{3+a}{x^{2}} + \bigl(b - \tfrac{9}{2}\bigr) + O(x^{2}).
Observe o comportamento quando x\to0:
  • O termo \dfrac{3+a}{x^{2}} tende para \pm\infty (ou é indefinido) a menos que o numerador desse termo seja zero.
  • Para que o limite exista e seja finito (e igual a 0), é necessário primeiro fazer \,3+a=0.

Passo 7

Impondo 3+a=0, obtemos
a = -3.
Com essa escolha, o termo singular \dfrac{3+a}{x^{2}} desaparece e o quociente fica, quando x\to0,
\frac{\sin(3x) + a x + b x^{3}}{x^{3}} \longrightarrow b - \tfrac{9}{2}.

Passo 8

Para que o limite valha exatamente 0, exigimos
b - \tfrac{9}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad b = \tfrac{9}{2}.

Passo 9

Resumo / verificação rápida: com a=-3 os termos em x cancelam; com b=\tfrac{9}{2} o coeficiente do termo x^{3} também fica tal que o quociente tende a 0. Portanto esses valores satisfazem a condição pedida.

Resposta

\,a=-3
\,b=\tfrac{9}{2}

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