(2 PONTOS) Calcule as integrais abaixo, se existirem.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral (se existir)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a integrar é
. - Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).
- Deve-se indicar a constante de integração quando a primitiva existir.
Passo 2
Primeiro passo algébrico para simplificar a expressão: completar o quadrado no polinômio do denominador. Fazer isso ajuda a reconhecer uma forma padrão. Calcula-se
Então a integral se reescreve, usando a substituição de translação
(assim
):
Agora trabalhamos com a forma padrão
com
, ou seja
.
Passo 3
Vamos estudar a integral padrão
onde
é constante. Vou derivar uma primitiva candidata e mostrar que funciona — isso é útil para usar direto na prova sem ficar fazendo trig-substituição completa cada vez.
Sugerimos a primitiva candidata
Agora diferenciamos
e mostramos que
.
Calculemos
. Escrevendo
e usando a regra do produto:
Simplificando os termos dentro do colchete:
Multiplicando por
obtemos
Portanto
é de fato uma primitiva de
. Conclusão geral:
(Dica prática: memorizando essa fórmula economiza tempo na prova. Aqui
é o número positivo tal que aparece como
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso, onde
e
, obtemos
Voltando à variável
(lembrando
):
Passo 5
Podemos reescrever
para apresentar a primitiva com a expressão original do enunciado:
Observação sobre existência: para todo
tem-se
, logo
. Portanto o denominador não anula nem fica imaginário — a primitiva é válida para todos
.