(2 PONTOS) Calcule as integrais abaixo, se existirem.
\int \frac{d z}{\left(z^{2}-6 z+18\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral (se existir)
\int \frac{dz}{\left(z^{2}-6z+18\right)^{3/2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a integrar é z \mapsto \dfrac{1}{\left(z^{2}-6z+18\right)^{3/2}}.
  • Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida).
  • Deve-se indicar a constante de integração quando a primitiva existir.

Passo 2

Primeiro passo algébrico para simplificar a expressão: completar o quadrado no polinômio do denominador. Fazer isso ajuda a reconhecer uma forma padrão. Calcula-se
z^{2}-6z+18 = (z^{2}-6z+9)+9 = (z-3)^{2}+9.
Então a integral se reescreve, usando a substituição de translação u=z-3 (assim du=dz):
\int \frac{dz}{\left(z^{2}-6z+18\right)^{3/2}} = \int \frac{du}{\left(u^{2}+9\right)^{3/2}}.
Agora trabalhamos com a forma padrão \displaystyle \int \frac{du}{\left(u^{2}+a^{2}\right)^{3/2}} com a^{2}=9, ou seja a=3.

Passo 3

Vamos estudar a integral padrão
I(a)=\int \frac{du}{\left(u^{2}+a^{2}\right)^{3/2}},
onde a>0 é constante. Vou derivar uma primitiva candidata e mostrar que funciona — isso é útil para usar direto na prova sem ficar fazendo trig-substituição completa cada vez.
Sugerimos a primitiva candidata
F(u)=\frac{u}{a^{2}\sqrt{u^{2}+a^{2}}}.
Agora diferenciamos F(u) e mostramos que F'(u)=\dfrac{1}{(u^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Calculemos F'(u). Escrevendo F(u)=(1/a^{2})\; u (u^{2}+a^{2})^{-1/2} e usando a regra do produto:
F'(u)=\frac{1}{a^{2}}\left[(u^{2}+a^{2})^{-1/2} + u\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(u^{2}+a^{2})^{-3/2}\cdot 2u \right].
Simplificando os termos dentro do colchete:
(u^{2}+a^{2})^{-1/2} - \frac{u^{2}}{(u^{2}+a^{2})^{3/2}} = \frac{u^{2}+a^{2}-u^{2}}{(u^{2}+a^{2})^{3/2}} = \frac{a^{2}}{(u^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Multiplicando por 1/a^{2} obtemos
F'(u)=\frac{1}{(u^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Portanto F é de fato uma primitiva de 1/(u^{2}+a^{2})^{3/2}. Conclusão geral:
\int \frac{du}{\left(u^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}=\frac{u}{a^{2}\sqrt{u^{2}+a^{2}}}+C.
(Dica prática: memorizando essa fórmula economiza tempo na prova. Aqui a é o número positivo tal que aparece como u^{2}+a^{2}.)

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso, onde a=3 e u=z-3, obtemos
\int \frac{du}{\left(u^{2}+9\right)^{3/2}} = \frac{u}{9\sqrt{u^{2}+9}}+C.
Voltando à variável z (lembrando u=z-3):
\int \frac{dz}{\left(z^{2}-6z+18\right)^{3/2}} = \frac{z-3}{9\sqrt{(z-3)^{2}+9}}+C.

Passo 5

Podemos reescrever \sqrt{(z-3)^{2}+9}=\sqrt{z^{2}-6z+18} para apresentar a primitiva com a expressão original do enunciado:
\int \frac{dz}{\left(z^{2}-6z+18\right)^{3/2}} = \frac{z-3}{9\sqrt{z^{2}-6z+18}}+C.
Observação sobre existência: para todo z\in\mathbb{R} tem-se (z-3)^{2}\ge 0, logo (z-3)^{2}+9\ge 9>0. Portanto o denominador não anula nem fica imaginário — a primitiva é válida para todos z\in\mathbb{R}.

Resposta

\frac{z-3}{9\sqrt{z^{2}-6z+18}}+C

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