(4 pontos) Resolva o problema de valor inicial
c d yd x=4 x^3+2 x y(1)=4

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
dydx=4x^3+2x, y(1)=4,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, resolvível por integração direta (encontrar a antiderivada do lado direito e depois determinar a constante usando a condição inicial).

Passo 2

Para resolver usamos integração indefinida. Integramos ambos os lados em relação a x:
integral dydx,dx = integral l(4x^3+2xr),dx

Passo 3

Calculando a antiderivada do lado direito:
integral l(4x^3+2xr),dx = integral 4x^3,dx + integral 2x,dx = 4cdot x^44 + 2cdot x^22 + C = x^4 + x^2 + C
Logo, a solução geral é
y(x) = x^4 + x^2 + C

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=4. Substituindo x=1 em y(x):
y(1) = 1^4 + 1^2 + C = 1 + 1 + C = 2 + C = 4 Longrightarrow C = 2

Passo 5

Substituindo C=2 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(x) = x^4 + x^2 + 2

Resposta

y(x) = x^4 + x^2 + 2

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