Prove, usando a definição de limite (
e
), que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite com
e
, que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
. - A afirmação a provar é que o limite de
quando tende a é .
O que precisa ser mostrado formalmente: para todoexiste tal que, sempre que , então .
Passo 2
Vou escrever a definição formal de limite que vamos usar e explicar cada símbolo:
Explicando:
-
é um número pequeno que representa o quão perto queremos ficar de na imagem . -
é um número que vamos escolher para controlar o quão perto deve estar de . - A condição
significa: está perto de (mas não exatamente igual a ). - A implicação final exige que, sempre que
estiver dentro de de , a imagem estará dentro de de .
Passo 3
Vamos manipular algebricamente a expressão
para ver como ela depende de
:
Fatorando:
Portanto a diferença entre
e
é exatamente
vezes a diferença entre
e
.
Passo 4
Queremos garantir
. Usando a relação encontrada:
Isolando
obtemos:
Isto sugere escolher
igual a
.
Passo 5
Formalizando a escolha: seja um
arbitrário. Defina
Agora mostramos a implicação exigida pela definição. Suponha que
satisfaça
. Então
Logo sempre que
temos
, como exigido.
Passo 6
Concluímos, pela definição
-
, que a escolha
funciona para todo
. Portanto a afirmação do enunciado é verdadeira.