Prove, usando a definição de limite ( \operatorname{com} \delta e \varepsilon ), que:
\lim _{x \rightarrow 3}(2 x+4)=10

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite com \delta e \varepsilon, que
\lim_{x\to 3}(2x+4)=10.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2x+4.
  • O ponto de interesse é x=3.
  • A afirmação a provar é que o limite de f(x) quando x tende a 3 é 10.
    O que precisa ser mostrado formalmente: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-3|<\delta, então |f(x)-10|<\varepsilon.

Passo 2

Vou escrever a definição formal de limite que vamos usar e explicar cada símbolo:
\text{Definição: } \lim_{x\to 3}f(x)=10 \iff \forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<|x-3|<\delta \Rightarrow |f(x)-10|<\varepsilon.çã
Explicando:
  • \varepsilon>0 é um número pequeno que representa o quão perto queremos ficar de 10 na imagem f(x).
  • \delta>0 é um número que vamos escolher para controlar o quão perto x deve estar de 3.
  • A condição 0<|x-3|<\delta significa: x está perto de 3 (mas não exatamente igual a 3).
  • A implicação final exige que, sempre que x estiver dentro de \delta de 3, a imagem f(x) estará dentro de \varepsilon de 10.

Passo 3

Vamos manipular algebricamente a expressão |f(x)-10| para ver como ela depende de |x-3|:
|f(x)-10| = |2x+4-10| = |2x-6|.
Fatorando:
|2x-6| = |2(x-3)| = 2|x-3|.
Portanto a diferença entre f(x) e 10 é exatamente 2 vezes a diferença entre x e 3.

Passo 4

Queremos garantir |f(x)-10|<\varepsilon. Usando a relação encontrada:
|f(x)-10|=2|x-3|<\varepsilon.
Isolando |x-3| obtemos:
|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}.
Isto sugere escolher \delta igual a \dfrac{\varepsilon}{2}.

Passo 5

Formalizando a escolha: seja um \varepsilon>0 arbitrário. Defina
\delta := \frac{\varepsilon}{2}.
Agora mostramos a implicação exigida pela definição. Suponha que x satisfaça 0<|x-3|<\delta. Então
|f(x)-10| = 2|x-3| < 2\delta = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Logo sempre que 0<|x-3|<\delta temos |f(x)-10|<\varepsilon, como exigido.

Passo 6

Concluímos, pela definição \varepsilon- \delta, que a escolha \delta=\dfrac{\varepsilon}{2} funciona para todo \varepsilon>0. Portanto a afirmação do enunciado é verdadeira.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+4)=10

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