Comentário didático curto: aqui a ideia clássica é escrever a diferença f(x)-L como um produto que contenha o fator |x+2| (o qual será controlado por \delta) vezes outro fator que a gente controlará por uma estimativa local. Esse é um padrão que aparece muito em provas \varepsilon-\delta.
Passo 3
Agora preciso controlar o fator |2x+1| quando x está próximo de -2. Uma forma simples: restringir o intervalo onde x varia, escolhendo \delta pequeno (por exemplo \le 1) para garantir um limite numérico para |2x+1|.
Se eu garantir que |x+2|<1, então x pertence ao intervalo (-3,-1). Para x\in(-3,-1) temos
2x+1 \in (2\cdot(-3)+1,\;2\cdot(-1)+1)=(-5,-1),
logo |2x+1|\le 5 nesse intervalo. Em particular, sempre que |x+2|<1 vale
|2x+1|\le 5.
Comentário didático: escolhemos 1 por ser um número simples que deixa x num intervalo fácil de controlar; qualquer \delta menor que 1 também funciona. O objetivo é obter uma constante M tal que |2x+1|\le M quando |x+2|<1. Aqui M=5 é uma escolha conveniente.
Agora monto a escolha de \delta em função de \varepsilon. Para garantir 5\,|x+2|<\varepsilon basta garantir |x+2|<\varepsilon/5. Além disso quero também a condição |x+2|<1 usada para a estimativa do fator |2x+1|. Assim uma escolha válida é
Comentário prático: essa é a receita típica — escolhe-se \delta como o mínimo entre um valor fixo que garante uma boa estimativa local e um valor que depende de \varepsilon para forçar a desigualdade desejada.
Passo 5
Verificação rigorosa: seja um \varepsilon>0 qualquer. Tome \delta como na etapa anterior, \delta=\min\{1,\varepsilon/5\}. Suponha 0<|x+2|<\delta. Então em particular |x+2|<1, portanto |2x+1|\le 5 e usando a fatoração obtém-se
Assim conseguimos a implicação desejada: 0<|x+2|<\delta implica \bigl|2x^{2}+5x+3-1\bigr|<\varepsilon.
Passo 6
Conclusão final pela definição \varepsilon-\delta: como para todo \varepsilon>0 encontramos \delta>0 (especificamente \delta=\min\{1,\varepsilon/5\}) que satisfaz a condição da definição, segue que
\lim_{x\to -2}\left(2x^{2}+5x+3\right)=1.
Dica rápida para a prova: ao ver um limite polinomial tente fatorar f(x)-L puxando um fator (x-a) (aqui a=-2). Depois limite o restante por uma constante numa vizinhança de a e escolha \delta como mínimo entre uma constante fixa e algo proporcional a \varepsilon. É um padrão que aparece muito e salva tempo sob pressão.