Em um canal regular de seção trapezoidal de declividade constante, com largura de fundo igual a 1,0 \mathrm{~m}, inclinação dos taludes 1 \mathrm{H}: 1 \mathrm{~V}(\mathrm{Z}=1), a altura d’água é igual a 0,80 \mathrm{~m} e a velocidade média é V . Determine:
a) O Número de Reynolds; (valor: 1/4)
b) O tipo de escoamento (ao preencher o formulário escolha a opção); (valor: 1/4)
c) O Número de Froude; (valor: 1/4)
d) O tipo de escoamento (ao preencher o formulário escolha a opção); (valor: 1/4)
Considere as seguintes observações:
i. Velocidade média, em \mathrm{m} / \mathrm{s} : soma dos valores dos algarismos da matrícula do aluno, dividido por 8;
ii. Viscosidade a água, v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s};
iii. Aceleração da gravidade, \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2};
iv. Massa específica da água, \rho=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3};

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá (peguei estes números do enunciado) e o que é pedido.
Dados fornecidos:
  • largura do fundo: b=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • inclinação dos taludes: 1\mathrm{H}:1\mathrm{V}, ou seja Z=1.
  • altura d’água: y=0{,}80\\ \mathrm{m}.
  • velocidade média: V dada por “soma dos algarismos da matrícula dividido por 8”. Vou chamar a soma dos algarismos da matrícula de S. Assim
V=\frac{S}{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • viscosidade cinemática: \nu=10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2.
  • massa específica da água: \rho=10^{3}\\ \mathrm{kg/m}^3 (não será necessária para Re e Fr, mas está listada).
O enunciado pede:
(a) o Número de Reynolds;
(b) o tipo de escoamento (escolher a opção: laminar / transitório / turbulento);
(c) o Número de Froude;
(d) o tipo de escoamento por Froude (subcrítico / crítico / supercrítico).

Passo 2

Primeiro calculamos as propriedades geométricas da seção trapezoidal, pois tanto Re (usa o raio hidráulico) quanto Fr (usa a profundidade hidráulica) dependem delas.
Top width (largura na superfície livre): a cada lado a largura aumenta Zy. Logo
T = b + 2Zy.
Substituindo b=1{,}0, Z=1, y=0{,}80:
T = 1{,}0 + 2\cdot 1 \cdot 0{,}80 = 1{,}0 + 1{,}6 = 2{,}6\\ \mathrm{m}.
Área da seção molhada (trapézio):
A = y\,(b + Zy).
Substituindo:
A = 0{,}80\,(1{,}0 + 1\cdot 0{,}80) = 0{,}80\cdot 1{,}80 = 1{,}44\\ \mathrm{m}^2.
Perímetro molhado:
P = b + 2\sqrt{y^2 + (Zy)^2}.
Com Z=1:
P = 1{,}0 + 2\sqrt{0{,}80^2 + 0{,}80^2} = 1{,}0 + 2\cdot 0{,}80\sqrt{2}.
Calculando numericamente \sqrt{2}\approx1{,}41421356:
P \approx 1{,}0 + 1{,}6\cdot 1{,}41421356 \approx 3{,}2627417\\ \mathrm{m}.
Raio hidráulico (razão área / perímetro):
R = \frac{A}{P} \approx \frac{1{,}44}{3{,}2627417} \approx 0{,}441536\\ \mathrm{m}.
Profundidade hidráulica (usada no Froude), definida por D = A/T:
D = \frac{A}{T} = \frac{1{,}44}{2{,}6} \approx 0{,}553846\\ \mathrm{m}.
Resumo numérico útil (arredondando um pouco para trabalhar):
A=1{,}44\\ \mathrm{m}^2,\quad P\approx3{,}2627\\ \mathrm{m},\quad R\approx0{,}441536\\ \mathrm{m},\quad D\approx0{,}553846\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora definimos e calculamos o Número de Reynolds para escoamento em canal aberto.
Definição que usamos: para escoamento em canal aberto usa-se o raio hidráulico R. O Número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{V\,R}{\nu},
onde V é a velocidade média (em \mathrm{m/s}), R é o raio hidráulico (em \mathrm{m}) e \nu é a viscosidade cinemática (em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}). Essa fórmula mede a razão entre efeitos inerciais e viscosos; valores grandes indicam tendência a turbulência.
Substituindo R\approx0{,}441536\\ \mathrm{m} e \nu=10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}:
\mathrm{Re} \approx \frac{V\cdot 0{,}441536}{10^{-6}} = 441536\;V.
Lembrando que V=\dfrac{S}{8}, podemos escrever Re em termos de S:
\mathrm{Re} = 441536\left(\frac{S}{8}\right) = 55192\;S.
Interpretação prática (critérios usuais para canais):
  • laminar: \mathrm{Re}\lesssim 500;
  • transição: 500\lesssim\mathrm{Re}\lesssim 2000;
  • turbulento: \mathrm{Re}\gtrsim 2000.
Agora verificamos numericamente: para S=1 (minimamente possível) \mathrm{Re}=55192, que já é muito maior que 2000. Portanto, para qualquer soma de algarismos razoável S\ge1 o escoamento será classificado como turbulento.

Passo 4

Cálculo do Número de Froude.
Definição: o Número de Froude em canal aberto é
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{g\,D}},
onde D é a profundidade hidráulica D=A/T (em \mathrm{m}), g a gravidade. Esse número compara velocidade advectiva com velocidade de ondas superficiais; é usado para classificar escoamento como subcrítico, crítico ou supercrítico.
Já calculamos D\approx0{,}553846\\ \mathrm{m}. Então
\sqrt{gD}=\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}553846}\approx\sqrt{5{,}432999}\approx 2{,}330844\\ \mathrm{m/s}.
Logo
\mathrm{Fr} = \frac{V}{2{,}330844}\approx 0{,}4290\;V.
Usando V=S/8,
\mathrm{Fr} \approx 0{,}4290\cdot\frac{S}{8} \approx 0{,}05362\;S.
Classificação por Froude:
  • subcrítico (escoamento lento, ondulante): \mathrm{Fr}<1;
  • crítico: \mathrm{Fr}=1;
  • supercrítico (escoamento rápido, tipo “rápido”): \mathrm{Fr}>1.
Encontramos a condição para ser crítico/limiar em termos de S:
\mathrm{Fr}=1 \quad\Rightarrow\quad 0{,}05362\;S = 1 \quad\Rightarrow\quad S \approx 18{,}65.
Como S é um inteiro (soma de algarismos), isso significa:
  • se S\le 18 então \mathrm{Fr}<1 (subcrítico);
  • se S\ge 19 então \mathrm{Fr}>1 (supercrítico);
  • S\approx 18{,}65 é o valor real para \mathrm{Fr}=1 que não é provável ser exatamente atingido por soma inteira de algarismos.

Passo 5

Observações finais e motivação rápida (rápida e amiga): em canais abertos pequenos como esse, o raio hidráulico aqui \approx0{,}44\\ \mathrm{m} é relativamente grande em comparação com a viscosidade pequena da água, portanto Reynolds fica enorme mesmo para pequenas velocidades — por isso normalmente se obtém escoamento turbulento. Já o Froude depende mais da profundidade relativa: velocidade alta (ou soma S grande) pode tornar o escoamento supercrítico.

Resposta

a) \mathrm{Re}=441536\,V=55192\,S.
b) Turbulento (para qualquer S\ge1).
c) \mathrm{Fr}\approx0{,}4290\,V\approx0{,}05362\,S.
d) Subcrítico se S\le18; crítico para S\approx18{,}65 (valor real não inteiro); supercrítico se S\ge19.

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