Calcule as seguintes integrais:
(1,0) \int_{\pi / 2}^{\pi} \operatorname{sen} x(\cos x+1)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,(\cos x + 1)^{2}\,dx.
Para resolver, vamos usar a técnica de integração por substituição, pois temos uma composição de funções com \sin x multiplicando uma função de \cos x.

Passo 2

Definimos a substituição
u = \cos x + 1.
Derivando em relação a x, obtemos
du = -\sin x \,dx,
portanto \sin x \,dx = -\,du.

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração. Quando x = \pi/2,
u = \cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) + 1 = 0 + 1 = 1,
e quando x = \pi,
u = \cos(\pi) + 1 = -1 + 1 = 0.
Substituindo na integral original, vem
\int_{\pi/2}^{\pi} \sin x \,(\cos x + 1)^{2}\,dx = \int_{x=\pi/2}^{x=\pi} u^{2}\,(-du) = -\int_{1}^{0} u^{2}\,du.

Passo 4

Invertemos os limites para eliminar o sinal negativo:
- \int_{1}^{0} u^{2}\,du = \int_{0}^{1} u^{2}\,du.
Agora é só integrar o polinômio:
\int_{0}^{1} u^{2}\,du = \biggl[\frac{u^{3}}{3}\biggr]_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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