( 2,5 pontos) Considere o seguinte Problema de Valor Inicial:
a)
Encontre o fator integrante desta equação (Atencio: primeiro transforme cesa equaçio na forma
).
b)
Encontre a solução deste Problema de Valor Inicial.
b)
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos o Problema de Valor Inicial
Perguntas:
(a) Encontre o fator integrante desta equação.
(b) Encontre a solução do problema de valor inicial.
(a) Encontre o fator integrante desta equação.
(b) Encontre a solução do problema de valor inicial.
Informações relevantes dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear em
. - Há uma condição inicial em
. - Observe que a equação envolve divisões por
, logo é um ponto singular; como a condição inicial é em , trabalharemos no intervalo com .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
. Para isso dividimos ambos os lados por
(válido para
):
Aqui identificamos
Explicação rápida: a forma padrão é útil porque a técnica do fator integrante funciona para equações lineares de 1ª ordem escritas como
. O termo
é a função que aparece multiplicando
após essa normalização.
Passo 3
Definição e cálculo do fator integrante. O fator integrante
é dado por
Aqui
, então
Portanto
Como trabalhamos com a condição inicial em
(ou seja,
), podemos escolher
Comentário didático: o fator integrante transforma a equação numa forma exata porque foi escolhido para satisfazer
, o que faz com que
.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Multiplicando
Verificação do lado esquerdo como derivada de um produto:
pelo produto, . Logo a equação fica
pelo produto,
Esta é a grande vantagem: reduzimos a equação a uma derivada simples que podemos integrar diretamente.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos
Logo
Calculemos as integrais passo a passo:
Substituindo,
Passo 6
Isolar
e aplicar a condição inicial. Multiplicando por
:
Agora usamos
:
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Breve verificação (opcional): podemos substituir
e
na equação original para conferir que a igualdade vale; isso confirma que não cometemos erro algébrico.
Resposta
a)
(para
).
b) (satisfaz
).
b)