( 2,5 pontos) Considere o seguinte Problema de Valor Inicial:
t^{2} y^{\prime}-t y=t^{3}+4, \quad y(1)=0
a) (0,5) Encontre o fator integrante desta equação (Atencio: primeiro transforme cesa equaçio na forma y^{\prime}+p(t) y=q(t) ).
b) (1,5) Encontre a solução deste Problema de Valor Inicial.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos o Problema de Valor Inicial
t^{2}y' - t y = t^{3} + 4,\qquad y(1)=0.
Perguntas:
(a) Encontre o fator integrante desta equação.
(b) Encontre a solução do problema de valor inicial.
Informações relevantes dadas:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear em y.
  • Há uma condição inicial em t=1.
  • Observe que a equação envolve divisões por t, logo t=0 é um ponto singular; como a condição inicial é em t=1, trabalharemos no intervalo com t>0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y' + p(t)y = q(t). Para isso dividimos ambos os lados por t^{2} (válido para t\neq 0):
y' - \frac{1}{t}y = t + \frac{4}{t^{2}}.
Aqui identificamos
p(t) = -\frac{1}{t},\qquad q(t)=t+\frac{4}{t^{2}}.
Explicação rápida: a forma padrão é útil porque a técnica do fator integrante funciona para equações lineares de 1ª ordem escritas como y' + p(t)y = q(t). O termo p(t) é a função que aparece multiplicando y após essa normalização.

Passo 3

Definição e cálculo do fator integrante. O fator integrante \mu(t) é dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Aqui p(t)=-1/t, então
\int p(t)\,dt=\int -\frac{1}{t}\,dt = -\ln|t|.
Portanto
\mu(t)=e^{-\ln|t|}=\frac{1}{|t|}.
Como trabalhamos com a condição inicial em t=1 (ou seja, t>0), podemos escolher
\mu(t)=\frac{1}{t}\quad\text{para }t>0.
Comentário didático: o fator integrante transforma a equação numa forma exata porque foi escolhido para satisfazer \mu'(t)=\mu(t)p(t), o que faz com que (\mu y)'=\mu y'+\mu p y.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(t)=1/t. Multiplicando
\frac{1}{t}\,y' - \frac{1}{t^{2}}y = 1 + \frac{4}{t^{3}}.
Verificação do lado esquerdo como derivada de um produto:
pelo produto, \displaystyle\left(\frac{y}{t}\right)' = \frac{1}{t}y' - \frac{1}{t^{2}}y. Logo a equação fica
\left(\frac{y}{t}\right)' = 1 + \frac{4}{t^{3}}.
Esta é a grande vantagem: reduzimos a equação a uma derivada simples que podemos integrar diretamente.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t. Integramos
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{y}{t}\right) = 1 + 4t^{-3}.
Logo
\frac{y}{t} = \int 1\,dt + 4\int t^{-3}\,dt + C.
Calculemos as integrais passo a passo:
\int 1\,dt = t,
\int t^{-3}\,dt = \int t^{-3}\,dt = \frac{t^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}t^{-2}.
Substituindo,
\frac{y}{t} = t + 4\left(-\frac{1}{2}t^{-2}\right) + C = t -2t^{-2} + C.

Passo 6

Isolar y e aplicar a condição inicial. Multiplicando por t:
y = t^{2} - \frac{2}{t} + C t.
Agora usamos y(1)=0:
0 = 1^{2} - \frac{2}{1} + C\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad 0 = 1 - 2 + C \quad\Rightarrow\quad C=1.
Portanto a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(t)=t^{2} - \frac{2}{t} + t = t^{2}+t-\frac{2}{t},\qquad t>0.
Breve verificação (opcional): podemos substituir y e y' na equação original para conferir que a igualdade vale; isso confirma que não cometemos erro algébrico.

Resposta

a) \mu(t)=\dfrac{1}{t} (para t>0).
b) \displaystyle y(t)=t^{2}+t-\frac{2}{t} (satisfaz y(1)=0).

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