(7 pontos) Resolva o seguinte PVI utilizando a transformada de Laplace:
y^{(4)}-4 y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime}(0)=-2, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y^{(4)} - 4\,y = 0, \quad y(0)=1,\;y'(0)=0,\;y''(0)=-2,\;y'''(0)=0
usando a transformada de Laplace. O conteúdo é transformar a EDO em equação algébrica em s, resolver para Y(s) e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y^{(4)} - 4\,y = 0.
Como
\mathcal{L}\{y^{(4)}\} = s^4\,Y(s) - s^3\,y(0) - s^2\,y'(0) - s\,y''(0) - y'''(0),
ao usar y(0)=1,\;y'(0)=0,\;y''(0)=-2,\;y'''(0)=0 obtém-se
\mathcal{L}\{y^{(4)}\} = s^4\,Y(s) - s^3 + 2\,s.
Logo a equação transformada é
\bigl(s^4\,Y(s) - s^3 + 2s\bigr) \;-\;4\,Y(s) \;=\;0.

Passo 3

Reorganizando em Y(s), temos
Y(s)\,(s^4 - 4) \;=\; s^3 - 2s \quad\Longrightarrow\quad Y(s) \;=\;\frac{s^3 - 2s}{s^4 - 4}.
Fatoramos o denominador:
s^4 - 4 = (s^2 - 2)(s^2 + 2).

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais
\frac{s^3 - 2s}{(s^2 - 2)(s^2 + 2)} = \frac{A\,s + B}{s^2 - 2} \;+\;\frac{C\,s + D}{s^2 + 2}.
Multiplicando e igualando coeficientes em s^3 - 2s = (A+C)s^3 + (B+D)s^2 + (2A-2C)s + (2B-2D)\), obtemos o sistema \[\begin{cases} A + C = 1,\\\ B + D = 0,\\\\ 2A - 2C = -2,\\\\ 2B - 2D = 0. \end{cases}
Daí (A=0,;C=1,;B=0,;D=0]. Assim
Y(s) = \frac{s}{s^2 + 2}.

Passo 5

Reconhecemos que
\mathcal{L}\{\cos(\sqrt2\,t)\} = \frac{s}{s^2 + (\sqrt2)^2} = \frac{s}{s^2 + 2}.
Logo a solução é
y(t) = \cos\bigl(\sqrt2\,t\bigr).

Resposta

\displaystyle y(t)=\cos\bigl(\sqrt2\,t\bigr).

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